Aritmeettinen keskiarvo

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Aritmeettinen keskiarvo (lyhenne ka.[1]) eli puhekielessä vain keskiarvo, on lukujen summa jaettuna näiden lukumäärällä. Puhuttaessa keskiarvosta tarkoitetaan yleensä juuri tätä aritmeettista keskiarvoa. Keskiarvo on tilastotieteessä myös yläkäsite todennäköisyysjakaumien monenlaisille keskiluvuille, joilla kuvataan jakaumien tiheysmassan paikkaa. Niitä ovat esimerkiksi moodi ja mediaani. Kun tarkastellaan tilastollista populaatiota, puhutaan lisäksi populaation keskiarvosta, ja kun tarkastellaan populaation otosta, puhutaan otoskeskiarvosta.

Keskiarvo tarkoittaa aritmetiikassa ja geometriassa myös niitä keskilukuja, joita käytettiin jo muinaisissa babyloniassa, egyptissä ja antiikin Kreikassa. Niitä käsitteli ja kehitti tuolloin eteenpäin Pythagoras tutkielmassaan verrannoista. Hän esitteli siinä ensin artimeettisen keskiarvon lisäksi geometrisen keskiarvon ja harmonisen keskiarvon ja niiden perään vielä seitseman uutta "keskiarvoa" verrantojen avulla.[2]

Merkintä ja määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kreikkalaista kirjainta μ käytetään tavallisesti populaation keskiarvon merkitsemiseen. Kun jono x1, x2, ..., xn muodostaa aineiston, merkitään otoskeskiarvoa vaakaviivalla muuttujan päällä \bar{x}. Luonnontieteessä tai tekniikassa voidaan suureen keskiarvoa merkitä \langle x \rangle.

Keskiarvo lasketaan käyttäen kaavaa:

\bar{x} = \frac{x_1+\cdots+x_n}{n} = \frac1n\sum_{i=1}^n x_i,

jossa n on havaintojen lukumäärä. Jos samanarvoisia lukuarvoja on toistuvasti monta, tai aineisto on luokiteltu, voidaan keskiarvo esittää frekvenssien avulla

\bar x = \frac{f_1x_1+f_2x_2+\dots+f_nx_n}{N},

missä frekvenssien summa on N

f_1+f_2+\dots+f_n=N.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun tarkasteltava frekvenssijakauma on vino, keskiarvo ei ole yhtenevä mediaanin kanssa. Lisäksi otoksessa olevat poikkeuksellisen suuret havainnot vaikuttavat keskiarvoon huomattavasti. Tällaisissa tilanteissa mediaani on keskiarvoa parempi luku kuvaamaan jakauman keskikohtaa.

Käytännössä μ:n ja \bar{x}:n erona on se, että tavallisesti koko populaatiota ei havaita, jolloin μ:n todellinen arvo ei ole tiedossa. Jos otos on satunnaisesti poimittu, \bar{x} on satunnaismuuttuja, joka lähestyy suurten lukujen lain mukaan μ:tä otoskoon kasvaessa.

Ylä- ja alakeskiarvo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Keskiarvon lisäksi lukujoukosta voidaan laskea ns. yläneliökeskiarvo tai alaneliökeskiarvo, jotka lasketaan esimerkiksi alaneliökeskiarvon tapauksessa laskemalla kaikkien niiden lukujen keskiarvo, jotka ovat pienempiä kuin laskettu aritmeettinen keskiarvo. Nämä siis muodostavat ns. "keskiarvon neliön", koska keskiarvo lasketaan kahteen kertaan ja näiden käyttö voi toisinaan olla mielekäänpää, kun tutkitaan lukujoukkojen tiettyja painotusalueita.lähde?selvennä

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erityisiä keskiarvoja ovat myös

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Lyhenneluettelo 07.01.2013. Kotimaisten kielten keskus. Viitattu 29.3.2013.
  2. Boyer, Carl: Tieteiden kuningatar - Matematiikan historia osa I ja II, s. 95−97. Suom. Pietiläinen, Kimmo. Juva: Art House, 1994. ISBN 951-884-159-4.