Neliöllinen keskiarvo

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Neliöllinen keskiarvo (engl. Quadratic mean, Root mean square, RMS) on eräs lukujoukkoa tai jakaumaa kuvaavista matemaattisista keskiluvuista. Termi RMS liittyy läheisesti standardipoikkeamaan[1], ja muun muassa sähkötekniikassa RMS-keskiarvostamalla lasketaan vaihtojännitteen tehollisarvo.

Neliöllinen keskiarvo muuttujalle x\,\! määritellään seuraavalla tavalla:[1]

R(x) \equiv \sqrt{\left\langle x^2 \right\rangle},

missä \langle ... \rangle tarkoittaa aritmeettista keskiarvoa.

Määritelmää käyttäen saadaan diskreeteille jakaumille lauseke, joka on muotoa

R(x) = \sqrt{\frac{\sum_{k=0}^N x_k^2}{N}}

ja jatkuville jakaumille

R(x) = \sqrt{\frac{\int P(x) x^2\, dx}{\int P(x)\, dx}}.

RMS-keskiarvostaminen sähkötekniikassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sähkötekniikassa tehoja laskettaessa, kun käytössä on vaihtojännite (yhtä hyvin käytössä voisi olla myös vaihtovirta), halutaan yleensä huippujännitteen sijaan tietää vaihtojännitteen tehollisarvo. Näin siksi, koska vaihtojännite, joka ilmaistaan tehollisarvonsa avulla antaa kuormaan saman tehon kuin vastaavan suuruinen tasajännite. Tehollisarvo lasketaan vaihtojännitteestä keskiarvostamalla käyttämällä RMS-keskiarvostamista. Tämän vuoksi ammattipiireissä yleensä puhutaankin RMS-arvosta tehollisarvon sijaan.

Vaihtojännitteen tehollisarvon johto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tehollisarvo määritellään keskimääräisen tehon avulla. Tehon määritelmän ja Ohmin lain avulla hetkelliseksi tehoksi resistanssiin saadaan

P(t) = {v^2(t) \over R},

missä v(t) on jännitteen arvo tietyllä ajan hetkellä t ja R kuormavastuksen resistanssi.

Keskimääräiselle teholle saadaan lauseke integroimalla vaihtojännite ajan jakson T yli sekä jakamalla integroinnista saatu tulos jakson pituudella.

P_{avg} = {1 \over R} \left({1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} v^2(t)\, dt\right) = {v^2_{rms} \over R},

missä t_0 on ajan hetki tarkastelujakson alussa. Keskimääräinen teho on merkitty yhtä suureksi kuin tehollisarvoisesta jännitteestä v_{rms} laskettu teho. Ratkaistaan jännitteen tehollisarvo ottamalla neliöjuuri.

v_{rms} = \sqrt{{1 \over T} \int_{t_0}^{t_0+T} \, v^2(t)\, dt}

Tämä johdettu tehollisarvon laskentakaava on sama kuin olisi käytetty suoraan RMS-keskiarvostamista. Kaava on helppo muistaa, sillä lyhenne RMS kertoo suoraan laskutavan, Root-Mean-Square (neliöjuuri-keskiarvo-neliöinti). Kaavaa tarvitaan laskettaessa tehollisarvot erilaisille vaihtojännitteille, joista yleisimmin käytettyjä ovat siniaalto, kolmioaalto ja kanttiaalto.

Tehollisarvo siniaallolle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Sinimuotoinen vaihtojännite on muotoa

v(t) = V_0 \sin(\omega t),\,\!

missä V_0 on jännitteen amplitudi, t aika ja \omega kulmataajuus.

Tehollisarvon lauseke sinimuotoiselle jännitteelle on

v_{rms,\sin} = \sqrt{{1 \over T} \int_{0}^{T} \, V_0^2 \sin^2\left(\frac{2 \pi}{T} t\right)\, dt} = \frac{V_0}{\sqrt{2 \pi}} \sqrt{\int_{0}^{2 \pi} \, \sin^2(t)\, dt}.

Lausekkeen ensimmäisessä osassa kulmataajuus on muutettu muotoon \omega = 2 \pi / T. Jälkimmäisessä osassa ajanjakson T paikalle on sijoitettu sinin jakson pituus, joka on 2 \pi. Ajasta riippumaton jännitteen amplitudi on tuotu myös integraalin ulkopuolelle.

Seuraavaksi käytetään hyväksi jo tunnettua sinin neliön integraalia:[2]

\int \, \sin^2(x)\, dx = \frac {x}{2}-\frac{1}{4} \sin(2 x) + C.

Laskut suorittamalla saadaan, että sinimuotoisen jännitteen tehollisarvo on vaihtojännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kahdella.

v_{rms,\sin} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}

Tehollisarvo kolmioaallolle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmioaallon muotoinen vaihtojännite kuvassa punaisella. Sinisellä on piirretty tämä jännite korotettuna toiseen potenssiin.

Ideaalisen kolmioaallon yksi jakso, T/4 verran viivästettynä, on alla olevan yhtälöryhmän mukainen. Aaltoa on viivästetty, jotta tehollisarvoa laskettaessa päästään vähemmällä integroinnilla. On myös hyvä huomata, että kolmioaalto muuttuu paraabelin muotoiseksi, kun se korotetaan toiseen potenssiin.

v(t) = 
\begin{cases} 
  \frac{4 V_0}{T} t&, \mbox{kun } -T/4 \le t < T/4 \\
  -\frac{4 V_0}{T} t+2 V_0&, \mbox{kun } T/4 \le t \le 3T/4 
\end{cases}

Kolmioaallon jännitteen tehollisarvo on jännitteen huippuarvo jaettuna neliöjuuri kolmella.

v_{rms,kolmio} = \frac{V_0}{\sqrt{3}}

Tehollisarvo kanttiaallolle[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ideaalinen kanttiaalto yhden jakson verran on muotoa:

v(t) = 
\begin{cases} 
  V_0 &, \mbox{kun } 0 \le t < T/2 \\
  -V_0 &, \mbox{kun } T/2 \le t \le T 
\end{cases}

Kanttiaallon jännitteen tehollisarvo on sama, kuin aallon huippujännitteen itseisarvo.

v_{rms,kantti} = V_0\,\!

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Eric W. Weisstein: Wolfram MathWorld 6 huhtikuuta 2007. Wolfram Research. Viitattu 25. huhtikuuta 2007.
  2. Adams, Robert A. (Robert Alexander): Calculus: a complite course, 5th ed.. Addison Wesley Longman, 2003. ISBN 0-201-79131-5.