Jensenin epäyhtälö

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa Jensenin epäyhtälöllä, nimetty tanskalaisen matemaatikko Johan Jensenin mukaan, voidaan arvioida konveksin funktion integraaleja.

Äärellinen muoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Reaaliselle jatkuvalle konveksille funktiolle φ ja positiivisille painokertoimille ai on voimassa

Epäyhtälö on käännettävä jos φ on konkaavi.

Jos ai=1, on

Funktio log(x) on konkaavi, joten sijoittamalla φ(x) = log(x) saadaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö:

Yleinen väittämä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Epäyhtälö voidaan kirjoittaa myös yleisemmässä muodossa mittateorian avulla. Se voidaan ilmaista myös todennäköisyysteorian avulla. Nämä väittämät ovat yhtäpitäviä.

Mittateoreettinen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (Ω,A,μ) mitta-avaruus siten, että μ(Ω) = 1. Jos g on reaaliarvoinen μ-integroituva ja jos φ on konveksi joukossa g, on voimassa

Todennäköisyysteoreettinen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Todennäköisyysteorian terminologialla μ on todennäköisyysmitta. Funktio g korvataan reaaliarvoisella satunnaismuuttujalla X. Tällöin jokainen integraali Ω:ssa todennäköisyysmitan μ suhteen voidaan tulkita odotusarvoksi. Tällöin, jos φ on konveksi funktio, on

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon g μ-integroituva funktio mitta-avaruudessa Ω ja olkoon φ konveksi funktio g:n määrittelyjoukossa. Määritellään φ:n oikeanpuoleinen derivaatta x:ssä asettamalla

Koska φ on konveksi, oikean puolen osamäärä on vähenevä kun t lähestyy nollaa oikealta. Osamäärä on myös alhaalta rajoitettu: sitä rajoittavat termit muotoa

missä t < 0. Siten raja-arvo on aina olemassa.

Asetetaan nyt seuraavat merkinnät:

Tällöin kaikilla x on voimassa . Tämä nähdään siitä, että jos x>x0 ja t = x − x0 > 0, on voimassa

Siten

kuten vaadittiin. Tapaus x < x0 todistetaan vastaavasti, kuten myös tapaus .

φ(x0) voidaan siten kirjoittaa muodossa

Mutta koska μ(Ω) = 1, on kaikilla reaaliluvuilla k voimassa

Erityisesti

Q.E.D.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]