Jensenin epäyhtälö

Matematiikassa Jensenin epäyhtälöllä, nimetty tanskalaisen matemaatikko Johan Jensenin mukaan, voidaan arvioida konveksin funktion integraaleja.

Äärellinen muoto

Reaaliselle jatkuvalle konveksille funktiolle φ ja positiivisille painokertoimille a_i on voimassa

$\varphi \left({\frac {\sum a_{i}x_{i}}{\sum a_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a_{i}\varphi (x_{i})}{\sum a_{i}}}$

Epäyhtälö on käännettävä jos φ on konkaavi.

Jos a_i=1, on

$\varphi \left({\frac {\sum x_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x_{i})}{n}}$

Funktio log(x) on konkaavi, joten sijoittamalla φ(x) = log(x) saadaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö:

${\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}.$

Yleinen väittämä

Epäyhtälö voidaan kirjoittaa myös yleisemmässä muodossa mittateorian avulla. Se voidaan ilmaista myös todennäköisyysteorian avulla. Nämä väittämät ovat yhtäpitäviä.

Mittateoreettinen muotoilu

Olkoon (Ω,A,μ) mitta-avaruus siten, että μ(Ω) = 1. Jos g on reaaliarvoinen μ-integroituva ja jos φ on konveksi joukossa g, on voimassa

$\varphi \left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)\leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu .$

Todennäköisyysteoreettinen muotoilu

Todennäköisyysteorian terminologialla μ on todennäköisyysmitta. Funktio g korvataan reaaliarvoisella satunnaismuuttujalla X. Tällöin jokainen integraali Ω:ssa todennäköisyysmitan μ suhteen voidaan tulkita odotusarvoksi. Tällöin, jos φ on konveksi funktio, on

$\varphi \left(\mathbb {E} \{X\}\right)\leq \mathbb {E} \{\varphi (X)\}.\,$

Todistus

Olkoon g μ-integroituva funktio mitta-avaruudessa Ω ja olkoon φ konveksi funktio g:n määrittelyjoukossa. Määritellään φ:n oikeanpuoleinen derivaatta x:ssä asettamalla

$\varphi ^{\prime }(x):=\lim _{t\to 0^{-}}{\frac {\varphi (x+t)-\varphi (x)}{t}}$

Koska φ on konveksi, oikean puolen osamäärä on vähenevä kun t lähestyy nollaa oikealta. Osamäärä on myös alhaalta rajoitettu: sitä rajoittavat termit muotoa

${\frac {\varphi (x+t)-\varphi (x)}{t}},$

missä t < 0. Siten raja-arvo on aina olemassa.

Asetetaan nyt seuraavat merkinnät:

$x_{0}:=\int _{\Omega }g\,d\mu ,$

$a:=\varphi ^{\prime }(x_{0}),$

$b:=\varphi (x_{0})-x_{0}\varphi ^{\prime }(x_{0}).$

Tällöin kaikilla x on voimassa $ax+b\leq \varphi (x)$. Tämä nähdään siitä, että jos x>x₀ ja t = x − x₀ > 0, on voimassa

$\varphi ^{\prime }(x_{0})\leq {\frac {\varphi (x_{0}+t)-\varphi (x_{0})}{t}}.$

Siten

$\varphi ^{\prime }(x_{0})(x-x_{0})+\varphi (x_{0})\leq \varphi (x)$

kuten vaadittiin. Tapaus x < x₀ todistetaan vastaavasti, kuten myös tapaus $ax_{0}+b=\varphi (x_{0})$.

φ(x₀) voidaan siten kirjoittaa muodossa

$ax_{0}+b=a\left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)+b.$

Mutta koska μ(Ω) = 1, on kaikilla reaaliluvuilla k voimassa

$\int _{\Omega }k\,d\mu =k.$

Erityisesti

$a\left(\int _{\Omega }g\,d\mu \right)+b=\int _{\Omega }(ag+b)\,d\mu \leq \int _{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu .$

Q.E.D.

Lähteet

• Walter Rudin, Real and Complex Analysis
• David Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics

Aiheesta muualla

• Jensenin epäyhtälö MathWorldissä
• Jensenin epäyhtälö on Kööpenhaminan yliopiston matematiikan laitoksen logossa.