Antikommutatiivisuus

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Kahden vektorin ristitulo on antikommutatiivinen.

Binäärioperaatio on antikommutatiivinen tai antikommutoiva, jos alkioiden operointijärjestyksen vaihtaminen muuttaa operaation tuloksen käänteisalkiokseen. Tämä määritelmä on kuitenkin hieman epätarkka, sillä käänteisalkiolla voidaan tarkoittaa joko additiivista käänteisalkiota tai multiplikatiivista käänteisalkiota riippuen joukosta, jossa kyseinen operaation on määritelty. Tarkempi määritelmä käyttäen additiivista käänteisalkiota (ks. vastaluku) seuraa.

Formaali määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon epätyhjä joukko varustettuna binäärisillä operaatioilla ja . Vaaditaan lisäksi ensimmäiseltä operaatiolta se, että joukko varustettuna laskutoimituksella muodostaa ryhmän. Tämä on välttämätöntä käänteisalkion olemassaolon kannalta. Jos , niin merkitään :n käänteisalkiota :lla (kuten vastalukua). Ts.

,

missä on ryhmän neutraalialkio. Tällöin binäärinen operaatio on antikommutatiivinen, jos kaikilla pätee

.

Antikommutatiivinen vai epäkommutatiivinen?[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Antikommutatiivisuutta ei pidä sotkea epäkommutatiivisuuteen (tai ei-kommutoivaan). Epäkommutatiivinen tarkoittaa ei-vaihdannaista, eli edellä olevin merkinnöin

.

Antikommutatiivisuus on siis epäkommutatiivisuuden erikoistapaus.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Vektoreiden ristitulo on antikommutatiivinen: jos , niin .
  • Reaalilukujen vähennyslasku on antikommutatiivinen, kunhan vähennyslasku tulkitaan nimenomaan yhteenlaskun käänteislaskutoimituksena: kaikille reaaliluvuille ja .

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]