Signum-funktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Signum-funktion kuvaaja [1] on selvästi pariton funktio.

Signum-funktio eli etumerkkifunktio on matematiikassa erikoisfunktio, joka saa arvoksi vain luvut -1, 0 tai 1. Muita arvoja se ei saa. Funktion nimi tulee latinan sanasta signum, joka tarkoittaa merkkiä. Lausekkeissa funktion nimenä käytetään kolmikirjaimista lyhennettä sgn[1], jolloin lauseke voidaan merkitä esimerkiksi

f(x)=\sgn(-7)+ \sgn(x^2-4). [1]

Funktio onkin määritelty tietokoneiden ohjelmointikieliä varten, jotta laskelmissa voidaan määrittää lausekkeen tuloksen merkki ja käyttää sitä tietoa hyväksi.

Funktion saamat arvot tulevat argumentin merkin mukaan seuraavasti. Jos argumentti on negatiivinen, saa signum arvokseen -1, jos argumentti on nolla, saa signum arvokseen 0 ja jos argumentti on positiivinen, tulee signumin arvoksi +1 [1]. Plus-merkki ja miinus-merkki tulkitaan signum-funktiossa luvuiksi +1 ja -1 [2][3][4][5]. Tämä voidaan esittää reaaliluvuilla paloittaisena esityksenä

 \sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
-1, & \text{kun} &  x < 0 \\
0, & \text{kun} &  x = 0 \\
1, & \text{kun} &  x > 0. \end{matrix} \right. [1]

Funktion ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vaihtoehtoisia määritystapoja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun x \neq 0, se voidaan laskea myös muodossa

\sgn x = \frac{x}{|x|}, [1]

missä |x| tarkoittaa x:n itseisarvoa. Se voidaan ilmaista myös erään yksiportaisen askelfunktion Heavisiden funktion H(x) avulla:

\sgn x = 2H(x)-1. [1]

Parittomuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Signum-funktio on pariton funktio, sillä positiiviselle luvulle a>0 pätee \sgn(-a)= -1 = -(+1) = -\sgn a, koska \sgn a=+1.

Muita ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Signumin avulla voidaan laskea itseisarvo |x|=x\sgn x.[6] Toisaalta voidaan kirjoittaa myös x = |x|\sgn x.

Reaalilukujen kertolaskun merkkisääntö voidaan ilmaista \sgn (x\cdot y)= \sgn x \cdot \sgn y. Vastaava pätee osamäärällekin.

Signum voidaan yhdistää itsensä kanssa yhdistetyksi funktioksi, mutta se ei muuta sen arvoa: \sgn (\sgn x) = \sgn x.

Jatkuvuus realiluvuilla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Signum on jatkuva funktio kaikkialla paitsi origossa, missä vasemmanpuoleinen raja-arvo on  \textstyle\lim_{x\to 0 \atop x<0} \sgn x = -1 \ne \sgn 0 ja oikeanpuoleinen raja-arvo \textstyle \lim_{x\to 0 \atop x>0} \sgn (x) = 1 \ne \sgn(0).

Kompleksiluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Signumin määrittäminen kompleksiluvuille voidaan tehdä eri tavoin. Jos luku z = x+yi\ (\ne 0) on kompleksiluku, määritetään sen merkki

\sgn z = \frac{z}{|z|},

missä itseisarvo |z| = \sqrt{x^2 + y^2}, ja muuten \sgn(0+0i)=0. Sama asia voidaan kirjoittaa myös

\sgn z = \frac{z}{|z|} = e^{i\theta},

missä \theta = \arg(z). Kun signum reaaliluvulla takoittaa yleensä arvoa ±1, on signum kompleksiluvuilla yleensä lukua, joka sijaitsee kompleksitason origokeskeisellä yksikköympyrällä eli \{z\in\mathbb{C} \mid |z|=1\}. [6] Kun kompleksiluku esitetään muodossa z = x+yi, tulee kaava muotoon

\sgn (x+yi) = \frac{x+yi}{\sqrt{x^2 + y^2}}. [7]

Kaikille kompleksiluvuille z ja niiden kompleksikonjugaateille \overline{z} on voimassa z\sgn \overline{z}=|z|. [6]

Kompleksilukujen signum-funktiolle on osoitettavissa seuravia ominaisuuksia:

  • \sgn(z_1\cdot z_2)=\sgn z_1 \cdot \sgn z_2 (tulon merkkisääntö)
  • \sgn(\lambda\cdot z)=\sgn z positiiviselle reaaliluvulle \lambda
  • \sgn(\lambda\cdot z)=-\sgn z negatiiviselle reaaliluvulle \lambda
  • \sgn (-z) = -\sgn z (pariton funktio kompleksiluvuille)
  • \operatorname{sgn}(|z|) = |\operatorname{sgn}(z)|
  • \sgn (\bar z) = \overline{\sgn z} kompleksilukujen konjugaateille
  • \sgn \left(\frac{1} {z}\right) = \frac {1} {\sgn z} = \overline{\sgn z}, kun z\ne0.

Derivaatta ja integraali[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Signum-funktiolla on derivaatta (joka on nolla) kaikkialla muualla paitsi origossa, joka on epäjatkuvuuskohta. Distibuutioteoriassa voidaan kuitenkin kirjoittaa

D\sgn(x) = 2\delta(x),

missä \delta(x) on Diracin deltafunktio. Signumin yleinen integraali on

\int \sgn(t)\, dt = |x| + C. [6]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d e f g Weisstein, Eric W.: Sign (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Plus sign (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. Weisstein, Eric W.: Minus sign (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  4. Weisstein, Eric W.: Positive (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Negative (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. a b c d PlanetMath: Signum function (englanniksi)
  7. Wolfram Research: Sign (englanniksi)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]