Signum-funktio

Signum-funktion kuvaaja on selvästi pariton funktio.

Signum-funktio eli etumerkkifunktio on matematiikassa erikoisfunktio, joka saa arvoksi vain luvut -1, 0 tai 1. Muita arvoja se ei saa. Funktion nimi tulee latinan sanasta signum, joka tarkoittaa merkkiä. Lausekkeissa funktion nimenä käytetään kolmikirjaimista lyhennettä sgn, jolloin lauseke voidaan merkitä esimerkiksi

$f(x)=\sgn(-7)+ \sgn(x^2-4).$

Funktio onkin määritelty tietokoneiden ohjelmointikieliä varten, jotta laskelmissa voidaan määrittää lausekkeen tuloksen merkki ja käyttää sitä tietoa hyväksi.

Funktion saamat arvot tulevat argumentin merkin mukaan seuraavasti. Jos argumentti on negatiivinen, saa signum arvokseen -1, jos argumentti on nolla, saa signum arvokseen 0 ja jos argumentti on positiivinen, tulee signumin arvoksi +1 . Plus-merkki ja miinus-merkki tulkitaan signum-funktiossa luvuiksi +1 ja -1 . Tämä voidaan esittää reaaliluvuilla paloittaisena esityksenä

$\sgn x = \left\{ \begin{matrix} -1, & \text{kun} & x < 0 \\ 0, & \text{kun} & x = 0 \\ 1, & \text{kun} & x > 0. \end{matrix} \right.$

Funktion ominaisuuksia

Vaihtoehtoisia määritystapoja

Kun $x \neq 0$, se voidaan laskea myös muodossa

$\sgn x = \frac{x}{|x|},$

missä $|x|$ tarkoittaa $x$:n itseisarvoa. Se voidaan ilmaista myös erään yksiportaisen askelfunktion Heavisiden funktion $H(x)$ avulla:

$\sgn x = 2H(x)-1.$

Parittomuus

Signum-funktio on pariton funktio, sillä positiiviselle luvulle $a>0$ pätee $\sgn(-a)= -1 = -(+1) = -\sgn a,$ koska $\sgn a=+1$.

Muita ominaisuuksia

Signumin avulla voidaan laskea itseisarvo $|x|=x\sgn x$. Toisaalta voidaan kirjoittaa myös $x = |x|\sgn x$.

Reaalilukujen kertolaskun merkkisääntö voidaan ilmaista $\sgn (x\cdot y)= \sgn x \cdot \sgn y$. Vastaava pätee osamäärällekin.

Signum voidaan yhdistää itsensä kanssa yhdistetyksi funktioksi, mutta se ei muuta sen arvoa: $\sgn (\sgn x) = \sgn x$.

Jatkuvuus realiluvuilla

Signum on jatkuva funktio kaikkialla paitsi origossa, missä vasemmanpuoleinen raja-arvo on $\textstyle\lim_{x\to 0 \atop x<0} \sgn x = -1 \ne \sgn 0$ ja oikeanpuoleinen raja-arvo $\textstyle \lim_{x\to 0 \atop x>0} \sgn (x) = 1 \ne \sgn(0)$.

Kompleksiluvut

Signumin määrittäminen kompleksiluvuille voidaan tehdä eri tavoin. Jos luku $z = x+yi\ (\ne 0)$ on kompleksiluku, määritetään sen merkki

$\sgn z = \frac{z}{|z|},$

missä itseisarvo $|z| = \sqrt{x^2 + y^2}$, ja muuten $\sgn(0+0i)=0$. Sama asia voidaan kirjoittaa myös

$\sgn z = \frac{z}{|z|} = e^{i\theta},$

missä $\theta = \arg(z)$. Kun signum reaaliluvulla takoittaa yleensä arvoa ±1, on signum kompleksiluvuilla yleensä lukua, joka sijaitsee kompleksitason origokeskeisellä yksikköympyrällä eli $\{z\in\mathbb{C} \mid |z|=1\}.$ Kun kompleksiluku esitetään muodossa $z = x+yi$, tulee kaava muotoon

$\sgn (x+yi) = \frac{x+yi}{\sqrt{x^2 + y^2}}.$

Kaikille kompleksiluvuille $z$ ja niiden kompleksikonjugaateille $\overline{z}$ on voimassa $z\sgn \overline{z}=|z|$.

Kompleksilukujen signum-funktiolle on osoitettavissa seuravia ominaisuuksia:

• $\sgn(z_1\cdot z_2)=\sgn z_1 \cdot \sgn z_2$ (tulon merkkisääntö)
• $\sgn(\lambda\cdot z)=\sgn z$ positiiviselle reaaliluvulle $\lambda$
• $\sgn(\lambda\cdot z)=-\sgn z$ negatiiviselle reaaliluvulle $\lambda$
• $\sgn (-z) = -\sgn z$ (pariton funktio kompleksiluvuille)
• $\operatorname{sgn}(|z|) = |\operatorname{sgn}(z)|$
• $\sgn (\bar z) = \overline{\sgn z}$ kompleksilukujen konjugaateille
• $\sgn \left(\frac{1} {z}\right) = \frac {1} {\sgn z} = \overline{\sgn z},$ kun $z\ne0$.

Derivaatta ja integraali

Signum-funktiolla on derivaatta (joka on nolla) kaikkialla muualla paitsi origossa, joka on epäjatkuvuuskohta. Distibuutioteoriassa voidaan kuitenkin kirjoittaa

$D\sgn(x) = 2\delta(x),$

missä $\delta(x)$ on Diracin deltafunktio. Signumin yleinen integraali on

$\int \sgn(t)\, dt = |x| + C.$

Aiheesta muualla

• Mathematik: Die Signumfunktion (saksaksi)
• LipsWork: Signum function(englanniksi)