Hypergeometrinen sarja

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Hypergeometrinen sarja on potenssisarja, jonka peräkkäisten kertoimien suhde on rationaalifunktio. Jos sarja suppenee, sen summaa kutsutaan hypergeometriseksi funktioksi. Hypergeometriset funktiot ovat monia funktioluokkia yhdistävä konsepti: muun muassa gammafunktio, virhefunktio, Besselin funktiot ja ortogonaaliset polynomit ovat niiden erikoistapauksia.

Tavallisin hypergeometrinen funktio on {}_2F_1, joka määritellään hypergeometrisena sarjana

\,_2F_1 (a,b;c;x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {x^n} {n!}

eli aukikirjoitettuna

\,_2F_1(a,b;c;x) = 1 + \frac{a \cdot b}{1 \cdot c}x + \frac{a(a+1)b(b+1)}{1\cdot2c(c+1)}x^2 + \frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{1\cdot2\cdot3c(c+1)(c+2)}x^3 + \ldots,

mikä suppenee välillä -1 < x < 1, jos a, b ja c ovat reaalisia ja jos c - (a + b) > -1. Ylempänä olevassa summamerkinnässä esiintyvä lyhennysmerkintä (k)n= k(k+1)(k+2)...(k+n-1) on Pochhammerin symboli. Hypergeometrinen funktio y(x) = \,_2F_1(a,b;c;x) toteuttaa hypergeometrisen differentiaaliyhtälön


x(x-1)\frac{d^2 y}{dx^2} + [c - (a + b + 1)x]\frac{dy}{dx} - aby = 0.

Tämä on hyvin yleinen tapaus 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöstä ja asettamalla parametrien arvoja sopivasti, tästä yhtälöstä saadaan erikoistapauksina monet "tavallisemmat" differentiaaliyhtälöt.

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.