Hypergeometrinen sarja

Hypergeometrinen sarja on potenssisarja, jonka peräkkäisten kertoimien suhde on rationaalifunktio. Jos sarja suppenee, sen summaa kutsutaan hypergeometriseksi funktioksi. Hypergeometriset funktiot ovat monia funktioluokkia yhdistävä konsepti: muun muassa gammafunktio, virhefunktio, Besselin funktiot ja ortogonaaliset polynomit ovat niiden erikoistapauksia.

Tavallisin hypergeometrinen funktio on ${}_2F_1$, joka määritellään hypergeometrisena sarjana

$\,_2F_1 (a,b;c;x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(a)_n(b)_n}{(c)_n} \, \frac {x^n} {n!}$

eli aukikirjoitettuna

$\,_2F_1(a,b;c;x) = 1 + \frac{a \cdot b}{1 \cdot c}x + \frac{a(a+1)b(b+1)}{1\cdot2c(c+1)}x^2 + \frac{a(a+1)(a+2)b(b+1)(b+2)}{1\cdot2\cdot3c(c+1)(c+2)}x^3 + \ldots$,

mikä suppenee välillä $-1 < x < 1$, jos a, b ja c ovat reaalisia ja jos $c - (a + b) > -1$. Ylempänä olevassa summamerkinnässä esiintyvä lyhennysmerkintä (k)_n= k(k+1)(k+2)...(k+n-1) on Pochhammerin symboli. Hypergeometrinen funktio $y(x) = \,_2F_1(a,b;c;x)$ toteuttaa hypergeometrisen differentiaaliyhtälön

$x(x-1)\frac{d^2 y}{dx^2} + [c - (a + b + 1)x]\frac{dy}{dx} - aby = 0$.

Tämä on hyvin yleinen tapaus 2. kertaluvun differentiaaliyhtälöstä ja asettamalla parametrien arvoja sopivasti, tästä yhtälöstä saadaan erikoistapauksina monet "tavallisemmat" differentiaaliyhtälöt.