Besselin funktiot

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Besselin funktiot ovat useissa erilaisissa tilanteissa vastaantuleva joukko erikoisfunktioita. Ne liittyvät usein differentiaali- tai osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen sylinterikoordinaatistossa, mistä syystä niitä kutsutaan joskus myös sylinterifunktioiksi. Esimerkiksi rummun kalvon värähtely säteen suunnassa on kombinaatio Besselin funktioita. Tyypillinen esimerkki on myös taajuusmoduloidun signaalin spektri. Funktiot on nimetty preussilaisen tähtitieteilijän Friedrich Besselin mukaan.

Alun perin Besselin funktiot ovat Besselin differentiaaliyhtälön

x^2\frac{d^2 y}{dx^2} + x\frac{dy}{dx} + (x^2 - n^2)y = 0

ratkaisuja. Osoittautuu, että tämän yhtälön ratkaisuja ei voida esittää alkeisfunktioiden avulla, joten ratkaisut kuuluvat erikoisfunktioihin. Ratkaisun yleinen muoto on

y(x) = aJ_n(x) + bY_n(x)\,,

missä funktio J_n on n:s ensimmäisen lajin Besselin funktio ja funktio Y_n vastaavasti n:s toisen lajin Besselin funktio ja kertoimet a,b \in \mathbb{R}.

Ensimmäisen lajin Besselin funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ensimmäisen lajin Besselin funktiot J_0, J_1 ja J_2.

Ensimmäisen lajin Besselin funktio voidaan kirjoittaa potenssisarjana

J_n(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k (x/2)^{n+2k}}{k!\Gamma(n+k+1)}

Tässä esiintyvä funktio \Gamma on myös erikoisfunktioihin kuuluva gammafunktio ja ! tarkoittaa kertomaa. Tilanteessa, jossa n < 0

J_{-n}(x) = (-1)^n J_n(x)\,.

Jos n on kokonaisluku, funktiot voidaan määritellä integraalina

J_n(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos(nt - x \sin t)dt.

Besselin funktioille on voimassa muutamia rekursiokaavoja. Näiden käyttö on yleensä kätevää.

J_{n+1}(x) = \frac{2n}{x}J_n(x) - J_{n-1}(x)
J_n'(x) = \frac{1}{2}(J_{n-1}(x) - J_{n+1}(x))
xJ_n'(x) = nJ_n(x) - xJ_{n+1}(x)\,
(x^n J_n(x))' = x^nJ_{n-1}(x)\,
(x^{-n}J_n(x))' = -x^{-n}J_{n+1}(x)\,

Toisen lajin Besselin funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisen lajin Besselin funktiot Y_0, Y_1 ja Y_2

Toisen lajin Besselin funktiot tunnetaan myös Weberin funktioina tai Neumannin funktioina. Ne voidaan lausua trigonometristen funktioiden ja ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla

Y_n(x) = \frac{J_n(x) \cos(n\pi) - J_{-n}(x)}{\sin(n\pi)}, \; n \neq 0, 1, 2,\ldots

ja kokonaislukuindeksille n = 0, 1, 2,\ldots

Y_n(x) = \lim_{h\rightarrow n}\frac{J_h(x) \cos(h\pi) - J_{-h}(x)}{\sin(h\pi)}

Myös toisen lajin Besselin funktioille on voimassa

Y_{-n}(x) = (-1)^n Y_n(x)\,.

Samoin yllä mainitut rekursiokaavat ovat voimassa toisen lajin funktioille sellaisenaan.

Hankelin funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aaltojen etenemistä tutkittaessa törmätään Hankelin funktioihin. Ne ovat kompleksisia funktioita, joiden reaaliosa on ensimmäisen ja imaginääriosa toisen lajin Besselin funktio. Näille ovat voimassa

H_{n}^{(1)}(x) = J_n(x) - iY_n(x)\,
\;H_{n}^{(2)}(x) = J_n(x) + iY_n(x)\,

Hankelin funktiot voidaan lausua ensimmäisen lajin Besselin funktioiden avulla ei-kokonaislukuindeksille n

H_n^{(1)}(x) = \frac{J_{-n}(x) - e^{-n\pi i}J_n(x)}{i \sin(n\pi)}
H_n^{(1)}(x) = \frac{J_{-n}(x) - e^{n\pi i}J_n(x)}{-i \sin(n\pi)}.

Kokonaislukuindeksille yllä olevista kaavoista on laskettava \lim_{n\rightarrow k},\; k = 0,1,2,\ldots. Negatiivisille n:n arvoille

H_{-n}^{(1)}(x) = e^{n\pi i}H_n^{(1)}(x)
H_{-n}^{(2)}(x) = e^{-n\pi i}H_n^{(2)}(x)

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]