Ortogonaaliset polynomit

Ortogonaaliset polynomit ovat ääretön joukko polynomeja $P_{0}(x),P_{1}(x),P_{2}(x)\ldots ,P_{n}(x),\ldots \,$, joista $n$:s polynomi on aina $n$:ttä astetta. Ortogonaalipolynomit ovat nimensä mukaisesti ortogonaalisia, eli kahden polynomin sisätulo

$\langle P_{n},P_{m}\rangle =\int _{a}^{b}P_{n}(x)P_{m}(x)W(x)dx$

on nolla, aina kun $n\neq m$. Tässä esiintyvä funktio $W(x)$ on sisätulon painofunktio, joka voi olla myös ykkönen. Tämän ominaisuuden vuoksi tietty ortogonaalipolynomien joukko muodostaa polynomiavaruuden kannan samaan tapaan kuin vaikkapa koordinaatiston kantavektorit muodostavat vektoriavaruuden kannan. Integrointirajojen $a$ ja $b$ väliin jäävää aluetta kutsutaan polynomiperheen ortogonaalisuusväliksi. Rajoista jompikumpi tai molemmat voivat olla äärettömiä. Kanta-ominaisuutensa vuoksi ortogonaalipolynomeilla on runsaasti käytännön sovelluksia. Niiden avulla voidaan esimerkiksi kirjoittaa sarjakehitelmiä muille funktioille.

Ominaisuuksia

Generoiva funktio

Ortogonaalisia polynomeja esiintyy sellaisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisuna, joka on muotoa

$Q(x)y''+L(x)y'+\lambda y=0\,$,

kunhan polynomi $Q(x)$ on korkeintaan toista astetta ja polynomi $L(x)$ lineaarinen. Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan löytää funktio, joka tunnetaan Rodriguesin kaavana. Rodriguesin kaavan yleinen muoto on

$P_{n}={\frac {1}{W(x)e_{n}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(W(x)[Q(x)]^{n})$,

missä painofunktio

$W(x)={\frac {e^{\int (L(x)/Q(x))dx}}{Q(x)}}$

ja $e_{n}$ polynomijoukosta riippuva kerroin. Monissa todistuksissa on kätevää käyttää varsinaista generoivaa funktiota. Funktio $G(x,t)$ on generoiva funktio, jos polynomijoukolle on voimassa

$G(x,t)=\sum _{n}P_{n}(x)t^{n}\,$

Tällä voidaan todistaa esimerkiksi rekursiokaavoja.

Rekursiokaava

Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan myös löytää rekursiivinen kaava, jolla pystytään laskemaan joukon seuraava polynomi, kun kaksi edellistä polynomia tunnetaan. Yleinen rekursiokaava on muotoa

$P_{n+1}=(a_{n}x+b_{n})P_{n}-c_{n}P_{n-1}\,$

Juurten reaalisuus ja erisuuruus

Voidaan osoittaa, että jokaisen ortogonaalipolynomin kaikki nollakohdat ovat erisuuria, reaalisia ja että ne kaikki sijaitsevat kyseisen polynomijoukon ortogonaalisuusvälillä. Voidaan myös osoittaa, että jonon $n$:nnen polynomin kaikki nollakohdat sijaitsevat $(n+1)$:nnen polynomin nollakohtien välissä.

Tunnettuja ortogonaalisia polynomeja

Ortogonaalisia polynomeja syntyy mm. eräiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna yhtälön sarjaratkaisun katketessa polynomiksi. Tunnettuja ortogonaalipolynomiparvia ovat

• Legendren polynomit
• Laguerren polynomit
• Hermiten polynomit
• Tšebyševin polynomit
• Jacobin polynomit