Ortogonaaliset polynomit

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Ortogonaaliset polynomit ovat ääretön joukko polynomeja P_0(x), P_1(x), P_2(x) \ldots, P_n(x), \ldots\,, joista n:s polynomi on aina n:ttä astetta. Ortogonaalipolynomit ovat nimensä mukaisesti ortogonaalisia, eli kahden polynomin sisätulo

\langle P_n,P_m \rangle = \int_{a}^{b} P_n(x) P_m(x) W(x) dx

on nolla, aina kun n \neq m. Tässä esiintyvä funktio W(x) on sisätulon painofunktio, joka voi olla myös ykkönen. Tämän ominaisuuden vuoksi tietty ortogonaalipolynomien joukko muodostaa polynomiavaruuden kannan samaan tapaan kuin vaikkapa koordinaatiston kantavektorit muodostavat vektoriavaruuden kannan. Integrointirajojen a ja b väliin jäävää aluetta kutsutaan polynomiperheen ortogonaalisuusväliksi. Rajoista jompikumpi tai molemmat voivat olla äärettömiä. Kanta-ominaisuutensa vuoksi ortogonaalipolynomeilla on runsaasti käytännön sovelluksia. Niiden avulla voidaan esimerkiksi kirjoittaa sarjakehitelmiä muille funktioille.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Generoiva funktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ortogonaalisia polynomeja esiintyy sellaisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisuna, joka on muotoa

Q(x)y'' + L(x)y' + \lambda y = 0\,,

kunhan polynomi Q(x) on korkeintaan toista astetta ja polynomi L(x) lineaarinen. Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan löytää funktio, joka tunnetaan Rodriguesin kaavana. Rodriguesin kaavan yleinen muoto on

P_n = \frac{1}{W(x)e_n}\frac{d^n}{dx^n}(W(x)[Q(x)]^n),

missä painofunktio

W(x) = \frac{e^{\int (L(x) / Q(x))dx}}{Q(x)}

ja e_n polynomijoukosta riippuva kerroin. Monissa todistuksissa on kätevää käyttää varsinaista generoivaa funktiota. Funktio G(x,t) on generoiva funktio, jos polynomijoukolle on voimassa

G(x,t) = \sum_n P_n(x)t^n\,

Tällä voidaan todistaa esimerkiksi rekursiokaavoja.

Rekursiokaava[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan myös löytää rekursiivinen kaava, jolla pystytään laskemaan joukon seuraava polynomi, kun kaksi edellistä polynomia tunnetaan. Yleinen rekursiokaava on muotoa

P_{n+1} = (a_nx + b_n)P_n - c_nP_{n-1}\,

Juurten reaalisuus ja erisuuruus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Voidaan osoittaa, että jokaisen ortogonaalipolynomin kaikki nollakohdat ovat erisuuria, reaalisia ja että ne kaikki sijaitsevat kyseisen polynomijoukon ortogonaalisuusvälillä. Voidaan myös osoittaa, että jonon n:nnen polynomin kaikki nollakohdat sijaitsevat (n+1):nnen polynomin nollakohtien välissä.

Tunnettuja ortogonaalisia polynomeja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ortogonaalisia polynomeja syntyy mm. eräiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna yhtälön sarjaratkaisun katketessa polynomiksi. Tunnettuja ortogonaalipolynomiparvia ovat

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.