Planckin vakio

Planckin vakio on modernissa fysiikassa, ja etenkin kvanttimekaniikassa, usein vastaantuleva luonnonvakio, jonka likiarvo on

$h=6{,}626 069 57(29)\times10^{-34}\ \mbox{J}\cdot\mbox{s}=\,4{,}135 667 51(10) \times10^{-15}\ \mbox{eV}\cdot\mbox{s}$.

Määritelmä

Vakio on nimetty Max Planckin mukaan, joka vuonna 1900 oletti, että sähkömagneettinen säteily syntyy tietyn suuruisina kvantteina, joiden energia on suoraan verrannollinen säteilyn taajuuteen. Tämän ilmaisee lauseke

$E=hf,$

jossa E on kvantin eli fotonin energia, h Planckin vakio ja f säteilyn taajuus.

Redusoitu Planckin vakio

Usein on kätevämpää käyttää vakion $h$ sijasta sen johdannaista $\hbar$, jonka määritelmä on

$\hbar=\frac{h}{2\pi},$

missä $\pi$ on vakio pii. Vakiota $\hbar$ kutsutaan puolestaan joko Diracin vakioksi (Paul Diracin mukaan) tai redusoiduksi Planckin vakioksi. Puhekielessä yleisiä ilmauksia ovat myös h-viiva ja englannin kielestä lainattu h-bar [hoobaar]. Tätä vakiota käytettäessä kvantin energian lauseke saa muodon

$E = \hbar \omega,$

missä $\omega$ on säteilyn kulmataajuus eli taajuus kerrottuna $2 \pi$:llä.

Kvanttiteorian myöhempi kehitys on osoittanut, että redusoitu Planckin vakio $\hbar$ on perustavampi luonnonvakio kuin alkuperäinen Planckin vakio $h$. Niinpä hiukkasten rataliikkeen impulssimomentti on aina jokin $\hbar$:n monikerta, mutta fermionien spin-impulssimomentti on puolet siitä. Redusoitu Planckin vakio esiintyy muissakin kvanttimekaniikan perusyhtälöissä kuten Heisenbergin epätarkkuusperiaatteessa ja Schrödingerin yhtälössä.

Historia

Mustan kappaleen säteily

Oletus kvantista oli alunperin matemaattinen temppu, jolla mustan kappaleen säteilystä saadut koetulokset saatiin sovitettua jollekin käyrälle. Tämä yhtälö, eli Planckin laki, oli ensimmäinen asiayhteys missä Planckin vakio esiintyi. Myöhemmin kuitenkin osoittautui, että energiakvantti (tässä tapauksessa fotoni) oli luonnossa esiintyvä asia, ei ainoastaan matemaattinen oletus. Planckin laki antaa mustan kappaleen säteilyn energiatiheysjakauman $u(\nu)$ säteilyn taajuuden $\nu$ funktiona

$u(\nu)d \nu = \frac{8 \pi h \nu^3}{c^3}\frac{1}{e^{h \nu / {kT}} - 1}d \nu,$

missä h on Planckin vakio, c valonnopeus, k Boltzmannin vakio, sekä T mustan kappaleen absoluuttinen lämpötila.

Valosähköinen ilmiö

Valosähköinen ilmiö on prosessi, jossa valo irrottaa sähkövarautuneesta pinnasta elektroneja. Ilmiön havaitsi ensimmäisenä Alexander Becquerel vuonna 1839, ja Heinrich Hertz teki siitä ensimmäisen laajan tutkimuksen vuonna 1887. Mittaamalla elektronien liike-energia havaittiin, että valon intensiteetti ei vaikuttanut energiaan, vaan ainoastaan valon taajuus. Valosähköinen ilmiö esiintyi vain tietyn minimienergian yläpuolella, ja irtoavien elektronien energia oli suoraan verrannollinen valon taajuuteen. Klassinen aalto (esim. meren aalto) käyttäytyisi toisin: suuremmalla aallolla oli enemmän energiaa. Albert Einstein selitti ilmiön sillä, että valokvantin energia on suoraan sen taajuuden funktio:

$E = h\nu.\,$

Kokeet osoittivat Einsteinin väitteen todeksi: energian ja taajuuden kerroin oli Planckin vakio. Einstein sai Nobelin fysiikan palkinnon vuonna 1921 valosähköisen ilmiön selittämisestä.

Atomien rakenne

Ernest Rutherfordin atomimallissa elektronit kiersivät atomiydintä, mutta teorian ongelma oli se, että sähkömagneettisessa kentässä liikkuvan elektronin pitäisi menettää energiaa säteilemällä sähkömagneettisena säteilynä. Niels Bohr esitti Planckin tutkimusten perusteella, että atomissa elektronilla oli vain muutama sallittu energiatila, joiden energiat ovat (n = 1, 2, ...)

$E_n = -\frac{h c_0 R_{\infty}}{n^2},$

missä R on kokeellisesti mitattu Rydbergin vakio, joka mitattiin spektroskooppisilla menetelmillä. Koska atomi pystyy menettämään energiaa vain siirtymällä sallittujen energiatilojen välillä, se ei voi säteillä koko ajan näitä siirtymiä pienempiä määriä energiaa, ja siten atomi pysyy vakaana.

Bohr esitti ensi kertaa redusoidun Planckin vakion. Kulmaliikemäärän sallitut arvot ovat kokonaiskulmaliikemäärälle (J) ja kulmaliikemäärälle tietyssä suunnassa (J_z)

$\begin{align} J^2 = j(j+1) \hbar^2,\qquad & j = 0, \tfrac{1}{2}, 1, \tfrac{3}{2}, \ldots, \\ J_z = m \hbar, \qquad\qquad\quad & m = -j, -j+1, \ldots, j. \end{align}$

Pienin mahdollinen kulmaliikemäärä eli kvantti on siis $\hbar$, kun $j = 0$.

Lähteet

Luonnonvakiot

Valonnopeus | Newtonin gravitaatiovakio | Tyhjiön permeabiliteetti | Tyhjiön permittiivisyys | Planckin vakio | Diracin vakio | Alkeisvaraus | Hienorakennevakio | Rydbergin vakio
Bohrin säde | Bohrin magnetoni | Ydinmagnetoni | Avogadron vakio | Atomimassayksikkö | Ideaalikaasun moolitilavuus | Moolinen kaasuvakio | Boltzmannin vakio | Faradayn vakio
Stefanin-Boltzmannin vakio | Wienin siiirtymälain vakio | Elektronin lepomassa | Protonin lepomassa | Neutronin lepomassa | Alfahiukkasen lepomassa