Sisä-, reuna- ja ulkopiste

Kuvan piste p on joukon V reunapiste

Sisä-, reuna- ja ulkopiste ovat topologian käsitteitä. Jos perusjoukossa on annettu jokin topologia ja jokin perusjoukon osajoukko A, niin jokainen perusjoukon piste on A:n sisä-, reuna- tai ulkopiste ja vain yksi näistä.

Sisäpiste

Olkoon X avaruus. Jaamme X:n pisteet kolmeen erilaiseen joukkoon sen mukaan, miten ne suhtautuvat A:han, joka on X:n osajoukko. Olkoon $x\in X$. Tällöin x on A:n sisäpiste, jos x:llä on ympäristö U, joka kuuluu A:han. Eli voidaan intuitiivisesti sanoa, että ne pisteet, jotka ovat sisällä joukossa. Jos X on samalla metrinen avaruus, jossa on määritelty metriikka d, tämä voidaan yhtäpitävästi määritellä niinkin, että x on A:n sisäpiste, jos on olemassa sellainen positiivinen luku r, että jokainen piste y, jonka etäisyys x:stä on pienempi kuin r, kuuluu myös A:han.

Esimerkki:
Olkoon X = $\mathbb {R}$ ja A= {x : $x\in [0,5]$}. Nyt voidaan tutkia, onko jokin annettu piste joukon A sisäpiste. Valitaan tutkittavaksi piste a = 3. Helposti huomataan, että 3>0 ja 3<5. Nyt pitää vain löytää pisteelle a ympäristö, joka sisältyy joukkoon A. Kokeillaan ympäristön joukoksi U = ]2,5; 3,5[ eli nyt r = 0,5. Huomataan, että tämä ympäristö kuuluu joukkoon A, joten piste a on joukon A sisäpiste.

Ulkopiste

Jos x:llä on olemassa ympäristö U, joka ei kohtaa A:ta eli joka kokonaisuudessaan sisältyy A:n komplementtiin ($U\subset \complement A$), niin x on A:n ulkopiste. Voidaan siis sanoa, että ulkopiste on täysin vastakkainen asia sisäpisteelle. Muuten ulkopisteelle pätee samat säännöt ja laskemismahdollisuudet, mutta vain A:n paikalla on $\complement A$.

Esimerkki:
Olkoon X = $\mathbb {R}$ ja A= {x : $x\in [0,5]$}. Nyt voidaan tutkia, onko jokin annettu piste joukon A ulkopiste. Valitaan tutkittavaksi piste a = –1. Helposti huomataan, että –1<0 ja valitsemalla ympäristön r:ksi puolikkaan, niin a on A:n ulkopiste.

Reunapiste

Joukon reunapiste on piste, joka ei ole sen sisä- eikä ulkopiste. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että x:n jokainen ympäristö kohtaa sekä A:n että komplementti A:n. Joukon reunapisteet muodostavat joukon reunan.

Esimerkki:
Olkoon X = $\mathbb {R}$ ja A= {x : $x\in [0,5]$}. Nyt voidaan tutkia, onko jokin annettu piste joukon A reunapiste. Valitaan tarkasteltavaksi piste a = 5. Intuitiivisesti piste on joukon reunalla, joten se ehkä olisi. Nyt pitää vain kaikkien a:n ympäristöjen U kohdata niin A kuin A:n komplementti. Valitaan ympäristön säteeksi positiivinen r. huomataan, että kaikilla positiivisilla ympäristön säteillä U kohtaa A:n ja A:n komplementin. Nyt a on A:n reunapiste. Tässä tapauksessa reunapiste myös kuului joukkoon A.

Vastaavalla tavalla origokeskeisen yksikkökiekon sisäpisteitä ovat pisteet, jotka ovat kiekon sisällä eli joiden etäisyys origosta on pienempi kuin 1, ulkopisteitä ne, joiden etäisyys on suurempi kuin 1 ja reunapisteitä yksikköympyrän kehällä olevat pisteet, joiden etäisyys origosta on tasan 1.

Ominaisuuksia

Minkä tahansa joukon A jokainen sisäpiste kuuluu myös joukkoon A, kun taas mikään sen ulkopiste ei siihen kuulu. Sen sijaan reunapiste voi joko kuulua tai olla kuulumatta joukkoon A, koska esimerkiksi jos joukko on avoin, niin reunapisteet eivät sisälly siihen, ja jos taas joukko on suljettu, niin reunapisteet sisältyvät siihen. Huomaa, että mikäli $X=\mathbb {R}$ ja $A=]0,1]$, niin $A$:n reunapiste $0\notin A$ ja reunapiste $1\in A$.

Vastaaville pistejoukoille käytetään merkintöjä

$int\ A=\{x\in X\ \colon \ x$ on $A$:n sisäpiste$\}$,

$ext\ A=\{x\in X\ \colon \ x$ on $A$:n ulkopiste$\}$,

$\partial \ A=\{x\in X\ \colon \ x$ on $A$:n reunapiste$\}$.

Nämä joukot ovat keskenään erilliset, ja niiden yhdiste on $X$, eli

$X=int\ A\cup ext\ A\cup \partial \ A$. Koska ilmiselvästi $int\ A\subset A$ ja $ext\ A\subset \complement A$ sekä reunapisteen määritelmän nojalla $int\ A\cap \ \partial \ A=\emptyset$ ja $ext\ A\cap \ \partial \ A=\emptyset$, niin kyseiset kolme joukkoa ovat erilliset. Reunapisteen määritelmän nojalla $X\setminus ext\ A\setminus int\ A=\partial A$ $\iff X\cap \complement int\ A\cap \complement ext\ A=\partial A$ $\iff \complement int\ A\cap \complement ext\ A=\partial A$ $\implies int\ A\cup \left(\complement int\ A\cap \complement ext\ A\right)=int\ A\cup \partial A$ $\iff \left(int\ A\cup \complement int\ A\right)\cap \left(\complement ext\ A\cup int\ A\right)=int\ A\cup \partial A$ $\iff \complement ext\ A\cup int\ A=int\ A\cup \partial A$ $\implies ext\ A\cup \complement ext\ A\cup int\ A=ext\ A\cup int\ A\cup \partial A$ $\iff X=ext\ A\cup int\ A\cup \partial A$.

Seuraavaksi kootaan yllä määriteltyjen joukkojen erilaisia perusominaisuuksia. Näissä kohdissa esiintyvä ${\overline {A}}$ on $A$:n sulkeuma eli pienin suljettu joukko, johon $A$ sisältyy.

1. $int\ A\subset A$, $ext\ A\subset \complement A$.
2. $A$ on avoin, jos ja vain jos $int\ A=A$ (eli $\partial A\cap A=\emptyset$).
3. $ext\ A=int\ \complement A$, $int\ A=ext\ \complement A$.
4. $ext\ A=\complement {\overline {A}}$, $int\ A=\complement {\overline {\complement A}}$.
5. $\partial A={\overline {A}}\cap {\overline {\complement A}}={\overline {A}}\setminus int\ A$, ja $\partial A$ on aina suljettu.
6. $\partial A=\partial \complement A$.
7. Jos $A$ on avoin, niin $\partial A={\overline {A}}\setminus A$.
8. $int\ A$ on $A$:n laajin avoin osajoukko.

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I. Helsinki: Limes, 2001. ISBN 951-745-192-X.
• Väisälä, Jussi: Topologia II. Helsinki: Limes, 2005. ISBN 951-745-209-8.

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.