Täydellisyys
Täydellisyys on matematiikassa topologian peruskäsite, joka tarkoittaa sitä että metrisen avaruuden jokainen Cauchyn jono suppenee kohti pistettä, joka kuuluu kyseiseen metriseen avaruuteen.[1] Esimerkiksi avaruus on täydellinen, ja täydellisen avaruuden X osajoukko A on täydellinen, jos ja vain jos A on suljettu.[1]
Tärkeä tulos on myös Banachin kiintopistelause, jonka mukaan täydellisen avaruuden X kontraktiolla itselleen on täsmälleen yksi kiintopiste a. Jono f(x), f(f(x)), f(f(f(x))) ... suppenee kohti tätä pistettä kaikilla .
Täydellisyys ei ole topologinen ominaisuus, sillä on olemassa metrisiä avaruuksia, jotka ovat homeomorfiset, mutta joista toinen on täydellinen, toinen ei. Esimerkiksi reaalilukujen joukko on täydellinen, mutta avoin väli ]0, 1[ ei, vaikka ne ovat homeomorfiset.[1] Esimerkiksi lukujono , jolla ja jolla siis pätee kaikilla , suppenee kohti pistettä , joka taas ei kuulu avoimeen väliin .
Bairen lauseen mukaan täydellisten metristen avaruuksien tiheiden avointen osajoukkojen leikkaus on tiheä.[1]
Topologiassa metrisen avaruuden (X,d) täydellistymällä tarkoitetaan paria (,(Y,e)), missä (Y,e) on täydellinen metrinen avaruus ja on isometria Y:n tiheälle osajoukolle. Jokaisella metrisellä avaruudella on täydellistymä.[2]
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ a b c d Jussi Väisälä: Topologia II, s. 39–40. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
- ↑ Jussi Väisälä: Topologia II, s. 83. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.