Banachin kiintopistelause

Banachin kiintopistelause on täydellisiin avaruuksiin liittyvä matemaattinen lause. Se on tärkeä työkalu metristen avaruuksien teoriassa ja sovellutuksissa, sillä se takaa tiettyjen kuvausten kiintopisteiden olemassaolon ja tarjoaa metodin noiden kiintopisteiden määrittämiseksi. Lause on nimetty matemaatikko Stefan Banachin mukaan (1892–1945); Banach esitti lauseen ensimmäisen kerran vuonna 1922.

Lause

Olkoon (X, d) epätyhjä täydellinen metrinen avaruus ja olkoon f : X → X avaruuden X kontraktio; toisin sanoen on olemassa reaaliluku $0\leq q<1$ siten, että

$d(f(x),f(y))\leq q\cdot d(x,y)$

kaikilla x, y $\in$ X. Tällöin kuvauksella f on täsmälleen yksi kiintopiste a (kiintopiste on piste, jolle f(a) = a). Lisäksi kyseinen kiintopiste voidaan löytää seuraavasti: olkoon x₀ avaruuden X mielivaltainen piste. Määritellään lukujono x_n = f(x_n-1), n = 1, 2, 3, ...; toisin sanoen kyseessä on jono f(x₀), f(f(x₀)), f(f(f(x₀))), ... Tämä jono suppenee kohti kiintopistettä a.

Todistus

Banachin kiintopistelauseen todistus pääpiirteissään:

• Osoitetaan, että kiintopisteitä on enintään yksi: oletetaan, että X:n kontraktiolla f on kaksi kiintopistettä a ja b. Tällöin pätee

$\quad d(a,b)=d(f(a),f(b))\leq qd(a,b)$, missä $0\leq q<1$. Siis d(a, b) = 0 eli a = b.

• Olkoon nyt $x_{0}\in X$. Tarkastellaan jonoa $(x_{n})_{n\in \mathbb {N} }$, jossa $\quad x_{n+1}=f(x_{n})$. Voidaan osoittaa, että tämä jono on Cauchyn jono. Koska X on täydellinen, jono (x_n) suppenee kohti jotakin pistettä a. f:n jatkuvuuden nojalla f(x_n) → f(a). Toisaalta $x_{n+1}=f(x_{n})$, joten f(x_n) → a. Siis f(a) = a, eli a on kuvauksen f kiintopiste. □

Todistus normiavaruuden tapauksessa on lähes identtinen.

Esimerkkejä

• Picard-Lindelöfin-lauseen todistuksessa tarvitaan Banachin kiintopistelausetta, jotta siinä käytetty Picardin iteraatio $\phi _{k+1}(t)=f(t,\phi _{k}(t))$ suppenee haluttuun ratkaisuun.

• Funktion nollakohtia voidaan etsiä iteratiivisesti (esim. Newtonin menetelmä), ja ne voidaan kirjoittaa kiintopistemenetelminä, jolloin suppeneminen yksikäsitteiseen kiintopisteeseen seuraa, jos menetelmä on kontraktio.

Kirjallisuutta

• Astala, Kari; Piiroinen, Petteri; Hans-Olav, Tylli: Funktionaalianalyysin peruskurssi (pdf) (kurssimoniste) 2010. Helsingin Yliopisto. Viitattu 7.11.2025.

• Nagle, R. Kent; Saff, Edward B.; Snider, Arthur David: Fundamentals of Differential Equations and Boundary Value Problems (6th edition. New York: Addison-Wesley. Teoksen verkkoversio. (englanniksi)