Banachin kiintopistelause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Banachin kiintopistelause on täydellisiin avaruuksiin liittyvä matemaattinen lause. Se on tärkeä työkalu metristen avaruuksien teoriassa, sillä se takaa tiettyjen kuvausten kiintopisteiden olemassaolon ja tarjoaa metodin noiden kiintopisteiden määrittämiseksi. Lause on nimetty matemaatikko Stefan Banachin mukaan (1892–1945); Banach esitti lauseen ensimmäisen kerran vuonna 1922.

Lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon (X, d) epätyhjä täydellinen metrinen avaruus ja olkoon f : XX avaruuden X kontraktio; toisin sanoen on olemassa reaaliluku 0 \le q < 1 siten, että

d(f(x),f(y)) \le q\cdot d(x,y)

kaikilla x, y \in X. Tällöin kuvauksella f on täsmälleen yksi kiintopiste a (kiintopiste on piste, jolle f(a) = a). Lisäksi kyseinen kiintopiste voidaan löytää seuraavasti: olkoon x0 avaruuden X mielivaltainen piste. Määritellään lukujono xn = f(xn-1), n = 1, 2, 3, ...; toisin sanoen kyseessä on jono f(x0), f(f(x0)), f(f(f(x0))), ... Tämä jono suppenee kohti kiintopistettä a.

Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Banachin kiintopistelauseen todistus pääpiirteissään:

  • Osoitetaan, että kiintopisteitä on enintään yksi: oletetaan, että X:n kontraktiolla f on kaksi kiintopistettä a ja b. Tällöin pätee
 \quad d(a, b) = d(f(a),f(b)) \le q d(a, b), missä 0 \le q < 1 . Siis d(a, b) = 0 eli a = b.
  • Olkoon nyt x_0 \in X. Tarkastellaan jonoa (x_n)_{n \in \mathbb N} , jossa  \quad x_{n+1}=f(x_n). Voidaan osoittaa, että tämä jono on Cauchyn jono. Koska X on täydellinen, jono (xn) suppenee kohti jotakin pistettä a. f:n jatkuvuuden nojalla f(xn)f(a). Toisaalta  x_{n+1}=f(x_n) , joten f(xn)a. Siis f(a) = a, eli a on kuvauksen f kiintopiste. □