Bairen lause

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Bairen lause on tärkeä työkalu yleisessä topologiassa ja funktionaalianalyysissä. Lause voidaan muotoilla kahdella tavalla, joista kumpikin antaa riittävän ehdon sille, että topologinen avaruus on Bairen avaruus.

Lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Huomaa, että kumpikaan Bairen lause ei seuraa toisesta, sillä on olemassa täydellinen metrinen avaruus, joka ei ole lokaalisti kompakti (irrationaalilukujen Bairen avaruus) ja toisaalta on olemassa lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus joka ei ole metristyvä (ylinumeroituva Fortin avaruus). Tällainen avaruus esitellään kirjassa Steen ja Seebach: Counterexamples in Topology.

Suhde valinta-aksioomaan[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kummankin Bairen lausen todistus vaatii valinta-aksiooman käyttöä. Itse asiassa väite, että jokainen täydellinen pseudometrinen avaruus on Bairen avaruus on ekvivalentti valinta-aksiooman heikomman muodon, riippuvan valinta-aksiooman, kanssa. [1].

Lauseen käyttöä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Baire1:stä käytetään todistamaan avoin kuvauslause, suljettu kuvaajalause ja uniformi rajoittamattomuusperiaate

Baire1 osoittaa myös, että jokainen täydellinen metrinen avaruus, jossa ei ole erakkopisteitä, on ylinumeroituva. (Jos X on numeroituva täydellinen metrinen avaruus, jossa ei ole erakkopisteitä, on jokainen yksiö {x} X:ssä ei-missään tiheä, joten X kuuluu ensimmäiseen kategoriaan. Tämä osoittaa, että reaalilukujen joukko on ylinumeroituva.

Baire1 osoittaa, että kukin seuraavista avaruuksista on Bairen avaruus:

Baire1:stä seuraa monia tuloksia, joita on lueteltu ranskaksi ja englanniksi osoitteessa Bwatabaire.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]