Cauchyn jono

Kuvaajaan on kuvattu sinisellä erään Cauchyn jonon pisteitä $x_{n}$. Pisteet lähentyvät yhä pienemmälle etäisyydelle toisistaan $n$:n kasvaessa.

Cauchyn jono eli Cauchy-jono on jono, jonka jäsenet kasautuvat mielivaltaisen lähelle toisiaan jonon edetessä eli joka toteuttaa ehdon:

jokaista positiivista reaalilukua $\epsilon >0$ kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen kokonais­luku n, että $|a_{n+p}-a_{n}|<\epsilon$ kaikilla epänegatiivisilla kokonais­luvuilla p (eli $p=0,1,2,3,\dots$).

Tätä kutsutaan Cauchyn yleiseksi suppenemisehdoksi ranskalaisen matemaatikon Augustin-Louis Cauchyn (1789−1857) mukaan, joka totesi, että reaalilukujen jono $(a_{n})$ suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa ehdon.

Cauchyn jonot voidaan vastaavalla tavalla määritellä missä tahansa metrisessä avaruudessa, mutta tällöin ne eivät välttämättä suppene. Metristä avaruutta sanotaan täydelliseksi, jos siinä kaikki Cauchyn jonot suppenevat eli niillä on raja-arvo. Näin on laita esimerkiksi reaalilukujen joukossa. Sitä vastoin rationaalilukujen joukko ei ole metrisenä avaruutena täydellinen, sillä rationaaliluvuista voidaan muodostaa Cauchyn jonoja, joilla ei ole raja-arvoa rationaalilukujen joukossa. Sellainen on esimerkiksi lukujen $\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ jono, $n=1,2...$, jonka raja-arvo reaalilukujen joukossa on Neperin luku e.

Cauchyn jonon alkioille $(a_{1},a_{2},a_{3},...)$ pätee

$\lim _{\min(m,n)\rightarrow \infty }d(a_{m},a_{n})=0$,

missä $d$ on avaruuden annettu metriikka (alkioiden etäisyys).

Rationaaliluvuista koostuvien Cauchyn jonojen ekvivalenssiluokkiin perustuvan reaalilukujen määritelmän esittivät vuonna 1872 ranskalainen Charles Méray (1835−1911) ja saksalainen Karl Weierstrass (1815−1897) oppilaineen.

Cauchyn yleisen suppenemisehdon todistus

Oletetaan ensin Cauchyn yleisen suppenemisehdon pätevän lukujonolle $(x_{n})$ ja osoitetaan sen suppenevan.

Tiedetään, että jokaisella lukujonolla on olemassa monotoninen osajono. Olkoon osajono $(x_{n_{k}})$ lukujonon $(x_{n})$ monotoninen osajono.

Cauchyn yleisen suppenemisehdon nojalla on olemassa $s$ siten, että

$|x_{n}-x_{n_{k}}|=|x_{n_{k}}-x_{n}|<1,$

kun $n\geq s$ ja $n_{k}\geq k\geq s$.

Kolmioepäyhtälön nojalla

${\begin{aligned}|x_{n_{k}}|&=|x_{n_{k}}-x_{s}+x_{s}|\\&\leq |x_{n_{k}}-x_{s}|+|x_{s}|\\&<1+|x_{s}|,\end{aligned}}$

kun $k\geq s$. Joukko

$A=\{|x_{n_{1}}|,|x_{n_{2}}|,\dots ,|x_{n_{s}}|\}$

on äärellinen, joten sillä on olemassa maksimi $M=\max A$. Täten

$|x_{n_{k}}|\leq \max\{M,1+|x_{s}|\}$

kaikilla $k$.

Osajono $|x_{n_{k}}|$ on rajoitettu, joten Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla se suppenee:

$x_{n_{k}}\to a,\ {\text{kun}}\ n\to \infty .$

Olkoon $\varepsilon >0$ mielivaltainen. Koska Cauchyn yleinen suppenemisehto on voimassa ja osajono $(x_{n_{k}})$ suppenee, niin on olemassa $m_{1}$ ja $m_{2}$ siten, että

${\begin{aligned}|x_{n}-x_{n_{k}}|<{\frac {\varepsilon }{2}},&\ {\text{kun}}\ n\geq m_{1}\ {\text{ja}}\ n_{k}\geq k\geq m_{1}\\|x_{n_{k}}-a|<{\frac {\varepsilon }{2}},&\ {\text{kun}}\ k\geq m_{2}.\end{aligned}}$

Valitaan $m=\max\{m_{1},m_{2}\}$. Kolmioepäyhtälön nojalla

${\begin{aligned}|x_{n}-a|&=|x_{n}-x_{n_{m}}+x_{n_{m}}-a|\\&\leq |x_{n}-x_{n_{m}}|+|x_{n_{m}}-a|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,\end{aligned}}$

kun $n\geq m$.

Täten

$x_{n}\to a,\ {\text{kun}}\ n\to \infty ,$

eli lukujono $(x_{n})$ suppenee.

Oletetaan sitten lukujonon $(x_{n})$ suppenevan ja osoitetaan Cauchyn yleisen suppenemisehdon pätevän.

Olkoon $\varepsilon >0$ mielivaltainen ja olkoon $a$, jolle pätee $x_{n}\to a$, kun $n\to \infty$. Tällöin on olemassa $m$ siten, että

$|x_{n}-a|<{\frac {\varepsilon }{2}},\ {\text{kun}}\ n\geq m.$

Kolmioepäyhtälön nojalla

${\begin{aligned}|x_{n}-x_{k}|&=|x_{n}-a+a-x_{k}|\\&\leq |x_{n}-a|+|a-x_{k}|\\&<{\frac {\varepsilon }{2}}+{\frac {\varepsilon }{2}}=\varepsilon ,\end{aligned}}$

kun $n\geq m$ ja $k\geq m$, joten Cauchyn yleinen suppenemisehto pätee.

Osoitettiin, että reaalilukujono suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa Cauchyn yleisen suppenemisehdon.

Lähteet

• Harjulehto, P., Klén, R. & Koskenoja, M.: ”2.4. Cauchyn yleinen suppenemisehto”, Analyysiä reaaliluvuilla, s. 54–56. (6., uudistettu painos) Turku & Helsinki: Gaudeamus Oy, 2023. ISBN 978-952-345-249-7

Kirjallisuutta

• Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9 Viitattu 8.7.2019. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)