Cauchyn jono

Cauchyn jono eli Cauchy-jono on jono, jonka jäsenet kasautuvat mielivaltaisen lähelle toisiaan jonon edetessä eli joka toteuttaa ehdon:
- jokaista positiivista reaalilukua kohti voidaan valita sellainen positiivinen kokonaisluku n, että kaikilla epänegatiivisilla kokonaisluvuilla p (eli ).[1]
Tätä kutsutaan Cauchyn yleiseksi suppenemisehdoksi[2] ranskalaisen matemaatikon Augustin-Louis Cauchyn (1789−1857) mukaan, joka totesi, että reaalilukujen jono suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa ehdon.
Cauchyn jonot voidaan vastaavalla tavalla määritellä missä tahansa metrisessä avaruudessa, mutta tällöin ne eivät välttämättä suppene. Metristä avaruutta sanotaan täydelliseksi, jos siinä kaikki Cauchyn jonot suppenevat eli niillä on raja-arvo. Näin on laita esimerkiksi reaalilukujen joukossa. Sitä vastoin rationaalilukujen joukko ei ole metrisenä avaruutena täydellinen, sillä rationaaliluvuista voidaan muodostaa Cauchyn jonoja, joilla ei ole raja-arvoa rationaalilukujen joukossa. Sellainen on esimerkiksi lukujen jono, , jonka raja-arvo reaalilukujen joukossa on Neperin luku e.
Cauchyn jonon alkioille pätee [3]
- ,
missä on avaruuden annettu metriikka (alkioiden etäisyys).
Rationaaliluvuista koostuvien Cauchyn jonojen ekvivalenssiluokkiin perustuvan reaalilukujen määritelmän esittivät vuonna 1872 ranskalainen Charles Méray (1835−1911) ja saksalainen Karl Weierstrass (1815−1897) oppilaineen.
Cauchyn yleisen suppenemisehdon todistus
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]Oletetaan ensin Cauchyn yleisen suppenemisehdon pätevän lukujonolle ja osoitetaan sen suppenevan.
Tiedetään, että jokaisella lukujonolla on olemassa monotoninen osajono. Olkoon osajono lukujonon monotoninen osajono.
Cauchyn yleisen suppenemisehdon nojalla on olemassa siten, että
kun ja .
Kolmioepäyhtälön nojalla
kun . Joukko
on äärellinen, joten sillä on olemassa maksimi . Täten
kaikilla .
Osajono on rajoitettu, joten Bolzanon–Weierstrassin lauseen nojalla se suppenee:
Olkoon mielivaltainen. Koska Cauchyn yleinen suppenemisehto on voimassa ja osajono suppenee, niin on olemassa ja siten, että
Valitaan . Kolmioepäyhtälön nojalla
kun .
Täten
eli lukujono suppenee.
Oletetaan sitten lukujonon suppenevan ja osoitetaan Cauchyn yleisen suppenemisehdon pätevän.
Olkoon mielivaltainen ja olkoon , jolle pätee , kun . Tällöin on olemassa siten, että
Kolmioepäyhtälön nojalla
kun ja , joten Cauchyn yleinen suppenemisehto pätee.
Osoitettiin, että reaalilukujono suppenee, jos ja vain jos se toteuttaa Cauchyn yleisen suppenemisehdon.
Lähteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Harjulehto, P., Klén, R. & Koskenoja, M.: ”2.4. Cauchyn yleinen suppenemisehto”, Analyysiä reaaliluvuilla, s. 54–56. (6., uudistettu painos) Turku & Helsinki: Gaudeamus Oy, 2023. ISBN 978-952-345-249-7
Viitteet
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- ↑ Cauchy's Criterion for Convergence (html) math.berkeley.edu. (englanniksi)
- ↑ Harjulehto et al. 2023, 55
- ↑ WolframMathworld – Cauchy Sequence (html) mathworld.wolfram.com. (englanniksi)
Kirjallisuutta
[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]- Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0
- Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry.. ISBN 978-952-7010-12-9 Viitattu 8.7.2019. ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf)