Kontraktio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa kontraktio on eräs funktiotyyppi. Kontraktioita kutsutaan myös nimellä kutistus.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio on kontraktio, jos riippumatta luvuista on olemassa siten, että

Yleisemmällä tasolla kontraktio määritellään kahden metrisen avaruuden välisenä funktiona. Tällöin yo. määritelmässä korvataan vain erotusten itseisarvot metriikoilla:[1] funktio on kontraktio, jos riippumatta pisteistä on olemassa siten, että

,

missä ja ovat avaruuksien ja metriikat, vastaavasti.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio on kontraktio. Nimittäin nyt

eli .

Funktio ei ole kontraktio, sillä esimerkiksi

Lause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon derivoituva, missä on väli. Tällöin on kontraktio jos ja vain jos .

Todistus: Olkoon . Jos , niin differentiaalilaskennan väliarvolauseen perusteella

kaikilla joten tällöin on kontraktio. (Jos ei ole avoin, toispuoleiset derivaatat päätepisteissä riittävät.)

Jos , niin on olemassa siten, että . Tällöin on olemassa siten, että

jolloin . Siis mikään ei kelpaa kontraktion määritelmässä. Jos siis , niin ei ole kontraktio, MOT.

Esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Funktio ei ole kontraktio funktiona mutta on kontraktio millä tahansa äärellisellä välillä: . On näet

kaikilla ja eli kaikilla mutta silti

joten jos ja vain jos väli on äärellinen. Tässä on käytetty apuna sitä, että kaikilla .

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Jussi Väisälä: Topologia I. Limes ry, 1999. ISBN 951-745-184-9.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]