Ero sivun ”Galilei-invarianssi” versioiden välillä

[katsottu versio]

Poistettu sisältö Lisätty sisältö

Inline

Versio 26. helmikuuta 2017 kello 23.43

Galilei-invarianssi on periaate, jonka mukaan luonnonlait pätevät kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Galileo Galilei kuvasi periaatteen ensimmäisenä vuonna 1632 Dialogissaan. Esimerkkinä hän käytti tasaisella nopeudella huojumatta etenevää laivaa. Kannen alla oleva havaitsija ei voi saada millään kokeella selville liikkuuko laiva ja hän itse mukana vai ei.

Nykytulkinnan mukaan Galilei-invarianssilla tarkoitetaan, sitä että Newtonin mekaniikka pätee kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa. Tämä vuoksi saatetaan periaatteeseen viitata myös Newtonin suhteellisuutena.

Matemaattinen muotoilu

Inertiaalikoordinaatistot ${\textstyle K}$ ja ${\textstyle K'}$ liikkuvat toistensa suhteen ${\textstyle x_{1}}$ - ja ${\textstyle x_{1}'}$ -akselien suuntaisesti nopeudella ${\textstyle \mathbf {v} }$ .

Newtonin mekaniikassa avaruus ja aika ovat kaksi erillistä asiaa ja ajan katsotaan olevan absoluuttista ja tarkastelukoordinaatistosta riippumatonta (vrt. erityiseen suhteellisuusteoriaan). Näiden oletusten seurauksena fysiikan lait säilyvät muuttumattomina muunnoksissa inertiaalikoordinaatistosta toiseen. Tarkastellaan kahta inertiaalikoordinaatistoa, ${\textstyle K}$ ja ${\textstyle K'}$ , jotka liikkuvat toistensa suhteen ${\textstyle x_{1}}$ - ja ${\textstyle x_{1}'}$ -akselien suuntaisesti vauhdilla ${\textstyle v}$ . Tällöin paikkakoordinaattien muunnos koordinaatistosta toiseen on:^[1]

${\begin{cases}x_{1}'=x_{1}-vt\\x_{2}'=x_{2}\\x_{3}'=x_{3}\end{cases}}$

Lisäksi absoluuttisesta ajasta johtuen $t'=t$ . Nämä yhtälöt määrittelevät Galilei-muunnoksen.^[1]

Galilei-muunnoksen ominaisuuksia

Differentiaalinen pituusalkio on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa:^[1]

$\mathrm {d} s^{2}=\sum _{i}\mathrm {d} x_{1}^{2}=\sum _{i}(\mathrm {d} x_{i}')^{2}=(\mathrm {d} s')^{2}$ .

Newtonin toinen laki on Galilei-invariantti:^[1]

$F_{i}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{i}}{\mathrm {d} t^{2}}}=m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x_{i}'}{\mathrm {d} t^{2}}}=F_{i}'$ .

Galilei-muunnos ei kuitenkaan ole täysin sopusoinnussa erityisen suhteellisuusteorian vaatimusten kanssa. Oletetaan, että koordinaatiston ${\textstyle K'}$ mukana kulkee ${\textstyle x_{1}}$ -akselin suuntaan osoittava taskulamppu. Taskulampusta lähtevän valonsäteen nopeus on Galilei-muunnoksen perusteella

${\frac {\mathrm {d} x_{1}'}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}-v$ .

Jos valon nopeudeksi mitataan ${\textstyle \mathrm {d} x_{1}'/\mathrm {d} t=c}$ koordinaatistossa ${\textstyle K'}$ , niin koordinaatistossa ${\textstyle K}$ se on

${\frac {\mathrm {d} x_{1}}{\mathrm {d} t}}=c+v$ .

Tämä on ristiriidassa erityisen suhteellisuusteorian kanssa, sillä valonnopeus on vakio koordinaatistosta riippumatta.

Lähteet

↑ ^a ^b ^c ^d Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 547 - 548. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)

Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.

[:0-1] Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos, s. 547 - 548. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)

[1]

@@ Rivi 9: / Rivi 9: @@
 <math>\begin{cases}x_1'=x_1-vt \\ x_2'=x_2 \\ x_3'=x_3 \end{cases}</math>
-Lisäksi absoluuttisesta ajasta johtuen <math>t'=t</math>.<ref name=":0" />
+Lisäksi absoluuttisesta ajasta johtuen <math>t'=t</math>. Nämä yhtälöt määrittelevät '''Galilei-muunnoksen'''.<ref name=":0" />
+=== Galilei-muunnoksen ominaisuuksia ===
+[[Funktion differentiaali|Differentiaalinen]] [[Pituus|pituusalkio]] on sama kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa:<ref name=":0" />
+<math>\mathrm ds^2=\sum_i \mathrm dx_1^2=\sum_i (\mathrm dx_i')^2=(\mathrm ds')^2</math>.
+[[Mekaniikan peruslait#Mekaniikan II peruslaki|Newtonin toinen laki]] on Galilei-invariantti:<ref name=":0" />
+<math>F_i=m\frac{\mathrm d^2x_i}{\mathrm dt^2}=m\frac{\mathrm d^2x_i'}{\mathrm dt^2}=F_i'</math>.
+Galilei-muunnos ei kuitenkaan ole täysin sopusoinnussa erityisen suhteellisuusteorian vaatimusten kanssa. Oletetaan, että koordinaatiston <math display="inline">K'</math> mukana kulkee <math display="inline">x_1</math>-akselin suuntaan osoittava [[taskulamppu]]. Taskulampusta lähtevän valonsäteen nopeus on Galilei-muunnoksen perusteella
+<math>\frac{\mathrm dx_1'}{\mathrm dt}=\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt}-v</math>.
+Jos valon nopeudeksi mitataan <math display="inline">\mathrm dx_1'/\mathrm dt=c</math> koordinaatistossa <math display="inline">K'</math>, niin koordinaatistossa <math display="inline">K</math> se on
+<math>\frac{\mathrm dx_1}{\mathrm dt}=c+v</math>.
+Tämä on ristiriidassa erityisen suhteellisuusteorian kanssa, sillä [[valonnopeus]] on vakio koordinaatistosta riippumatta.
 == Lähteet ==

Ero sivun ”Galilei-invarianssi” versioiden välillä

Versio 26. helmikuuta 2017 kello 23.43

Matemaattinen muotoilu

Galilei-muunnoksen ominaisuuksia

Lähteet

Navigointivalikko

Haku