Ero sivun ”Neutraalialkio” versioiden välillä
Siirry navigaatioon
Siirry hakuun
| [arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
Poistettu sisältö Lisätty sisältö
p luokkavaihdos |
p taulukkoa kauniimmaksi + katso myös + määritelmä artikkelin alkuun |
||
| Rivi 1: | Rivi 1: | ||
[[Joukko|Joukon]] [[alkio]] on '''neutraalialkio''' eli '''identiteettialkio''' eli '''yksikköalkio''' jonkin [[joukko|joukossa]] määritellyn [[binaarioperaattori|binaarioperaattorin]] suhteen, jos se yhdistettynä tähän operaattoriin jättää muut joukon alkiot ennalleen. Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio [[reaaliluku|reaalilukujen]] joukossa on 1, sillä mikä tahansa kerrottuna yhdellä on luku itse. |
|||
Matematiikassa '''neutraalialkio''' eli '''identiteettialkio''' on [[joukko|joukon]] erityinen [[alkio (joukko-oppi)|alkio]] joukon jonkin [[binäärioperaattori|binäärioperaattorin]] suhteen. Neutraalialkiosta voidaan myös käyttää nimeä identiteetti, jollei sekaantumisen vaaraa ole. Neutraalialkiosta käytetään myös nimitystä '''yksikköalkio'''. |
|||
Neutraalialkiosta voidaan myös käyttää nimeä identiteetti, jollei sekaantumisen vaaraa sanan [[identiteetti]] muihin merkityksiin ole. |
|||
Olkoon * joukossa S määritelty binäärioperaattori. Joukon ''S'' alkio ''e'' on ''vasemmanpuoleinen identiteetti'' operaattorin * suhteen, jos <math>e * a = a</math> kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla a. Samoin jos <math>a * e = a</math> kaikilla joukkoon S kuuluvilla alkioilla a, on e ''oikeanpuoleinen identiteetti'' operaattorin * suhteen. Jos alkio on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen identiteetti, kutsutaan sitä ''molemmanpuoleiseksi identiteetiksi'' tai yksinkertaisesti pelkäksi identiteeksi. Operaattoreilla, joilla on voimassa [[vaihdantalaki]], ei voida erotella eripuoleisia identiteettejä. |
Olkoon * joukossa S määritelty binäärioperaattori. Joukon ''S'' alkio ''e'' on ''vasemmanpuoleinen identiteetti'' operaattorin * suhteen, jos <math>e * a = a</math> kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla a. Samoin jos <math>a * e = a</math> kaikilla joukkoon S kuuluvilla alkioilla a, on e ''oikeanpuoleinen identiteetti'' operaattorin * suhteen. Jos alkio on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen identiteetti, kutsutaan sitä ''molemmanpuoleiseksi identiteetiksi'' tai yksinkertaisesti pelkäksi identiteeksi. Operaattoreilla, joilla on voimassa [[vaihdantalaki]], ei voida erotella eripuoleisia identiteettejä. |
||
==Esimerkkejä== |
==Esimerkkejä== |
||
{| class="wikitable" |
|||
{| border=1, align=top |
|||
!style="width:25%;"|joukko |
|||
!joukko!!operaattori!!identiteetti |
|||
!style="width:25%;"|operaattori |
|||
!style="width:50%;"|identiteetti |
|||
|- |
|- |
||
|[[reaaliluku|reaaliluvut]]|| |
|[[reaaliluku|reaaliluvut]]||yhteenlasku ( + )||[[0 (luku)|0]] |
||
|- |
|- |
||
|[[reaaliluku|reaaliluvut]]|| |
|[[reaaliluku|reaaliluvut]]||kertolasku ( · )||[[1 (luku)|1]] |
||
|- |
|- |
||
|''n'' x ''n'' [[neliömatriisi]]|| + |
|''n'' x ''n'' [[matriisi|neliömatriisi]]||yhteenlasku ( + )||[[matriisi#Tavallisia_matriiseja|nollamatriisi]] |
||
|- |
|- |
||
|''n'' x ''n'' neliömatriisi|| |
|''n'' x ''n'' neliömatriisi||kertolasku ( · )||[[matriisi#Tavallisia_matriiseja|yksikkömatriisi]] |
||
|- |
|- |
||
|kaikki [[funktio]]t joukosta ''M'' itseensä|| |
|kaikki [[funktio]]t joukosta ''M'' itseensä||[[yhdistetty funktio]] ( <small>o</small> )||[[identiteettifunktio]] |
||
|- |
|- |
||
|[[merkkijono]]t|| yhdistäminen || tyhjä merkkijono |
|[[merkkijono]]t|| yhdistäminen || tyhjä merkkijono |
||
|- |
|- |
||
|vain kaksi alkiota {''e'', ''f''}||* määritelty niin että |
|vain kaksi alkiota {''e'', ''f''}||* määritelty niin että ''e'' * ''e'' = ''f'' * ''e'' = ''e'' ja <br> ''f'' * ''f'' = ''e'' * ''f'' = ''f''|| ''e'' ja ''f'' ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa oikean- tai molemmanpuoleista identiteettiä. |
||
|} |
|} |
||
Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (''S'',*):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja on olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä ''v'':llä ja oikeaa ''o'':lla. Tällöin <math>v = v * o = o</math>. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti. |
Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (''S'',*):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja on olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä ''v'':llä ja oikeaa ''o'':lla. Tällöin <math>v = v * o = o</math>. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti. |
||
== Katso myös == |
|||
* [[Käänteisalkio]] |
|||
* [[Ryhmä]] |
|||
* [[Monoidi]] |
|||
[[Luokka:Abstrakti algebra]] |
[[Luokka:Abstrakti algebra]] |
||
Versio 10. kesäkuuta 2006 kello 16.01
Joukon alkio on neutraalialkio eli identiteettialkio eli yksikköalkio jonkin joukossa määritellyn binaarioperaattorin suhteen, jos se yhdistettynä tähän operaattoriin jättää muut joukon alkiot ennalleen. Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio reaalilukujen joukossa on 1, sillä mikä tahansa kerrottuna yhdellä on luku itse.
Neutraalialkiosta voidaan myös käyttää nimeä identiteetti, jollei sekaantumisen vaaraa sanan identiteetti muihin merkityksiin ole.
Olkoon * joukossa S määritelty binäärioperaattori. Joukon S alkio e on vasemmanpuoleinen identiteetti operaattorin * suhteen, jos kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla a. Samoin jos kaikilla joukkoon S kuuluvilla alkioilla a, on e oikeanpuoleinen identiteetti operaattorin * suhteen. Jos alkio on sekä vasemman- että oikeanpuoleinen identiteetti, kutsutaan sitä molemmanpuoleiseksi identiteetiksi tai yksinkertaisesti pelkäksi identiteeksi. Operaattoreilla, joilla on voimassa vaihdantalaki, ei voida erotella eripuoleisia identiteettejä.
Esimerkkejä
| joukko | operaattori | identiteetti |
|---|---|---|
| reaaliluvut | yhteenlasku ( + ) | 0 |
| reaaliluvut | kertolasku ( · ) | 1 |
| n x n neliömatriisi | yhteenlasku ( + ) | nollamatriisi |
| n x n neliömatriisi | kertolasku ( · ) | yksikkömatriisi |
| kaikki funktiot joukosta M itseensä | yhdistetty funktio ( o ) | identiteettifunktio |
| merkkijonot | yhdistäminen | tyhjä merkkijono |
| vain kaksi alkiota {e, f} | * määritelty niin että e * e = f * e = e ja f * f = e * f = f |
e ja f ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa oikean- tai molemmanpuoleista identiteettiä. |
Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (S,*):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja on olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä v:llä ja oikeaa o:lla. Tällöin . Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.
