Lineaarikuvaus

Matematiikassa ja erityisesti lineaarialgebrassa sanotaan funktion $f:A\to B$ olevan lineaarikuvaus, jos se toteuttaa ehdot

1. $f(\mathbf {x} +\mathbf {y} )=f(\mathbf {x} )+f(\mathbf {y} )\,$ ja
2. $f(a\mathbf {x} )=af(\mathbf {x} )\,$

jotka voidaan yhdistää yhdeksi riittäväksi ehdoksi

$f(a\mathbf {x} +b\mathbf {y} )=af(\mathbf {x} )+bf(\mathbf {y} )\,$,

kun $\mathbf {x} ,\mathbf {y} \in A$, $a,b\in \mathbb {R}$ ja $A,B$ ovat vektoriavaruuksia. Tällöin sanotaan myös, että funktio $f$ on lineaarinen. Määritelmän ehdosta 1 seuraa välttämättä, että $f(\mathbf {0} )=\mathbf {0}$. Huomaa, että lineaarikuvauksen argumentin ei tarvitse olla vektori, riittää, että se on jonkin lineaariavaruuden alkio. Vektoriavaruudet voivat olla myös kompleksisia.

Lineaarikuvauksen derivaatta on vakio. Tästä seuraa:

$f(x_{2})-f(x_{1})=f(x_{2}+h)-f(x_{1}+h)\,$

Lineaarikuvaukset ja matriisit

Jokainen (äärellisulottuvuinen) lineaarikuvaus $\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ voidaan esittää $m\times n$ kokoisena matriisina. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtöavaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvausavaruuden vektorien ulottuvuus. Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi. Vektori kuvataan kuvausavaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla. Esimerkiksi kierto, peilaus ja skaalaus koordinaatistossa ovat lineaarikuvauksia.

Esimerkki lineaarikuvauksesta

Tarkastellaan kuvausta $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,f(x)=x\,$. Nyt

1. $f(x+y)=f(x)+f(y)\,$ ja
2. $f(cx)=cf(x)\,$

eli kuvaus f toteuttaa ehdot 1 ja 2 ja on siis lineaarikuvaus. Sen sijaan kuvaus $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,g(x)=x+1$ antaa tulokseksi

1. $g(x+y)=x+y+1=g(x)+g(y)-1\,$
2. $g(cx)=cx+1=cg(x)+1-c\,$

Huomataan, että lineaarikuvauksen ehdot eivät toteudu kuvaukselle g, eikä se siis ole lineaarinen, vaikka kuvaukset f ja g ovat hyvin samanlaiset.

Huomataan myös helposti, että ainakin reaalisissa tapauksissa, joissa funktio on kuvaus $\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ ehdosta 2 seuraa ehto 1. Jos oletetaan ehdon 2 pätevän ja $y=cx$ (kaikki $y$:t voidaan esittää näin, jos oletetaan, että $x$ poikkeaa nollasta), saadaan

$f(x+y)=f(x+cx)=f((1+c)x)=(1+c)f(x)=f(x)+cf(x)=f(x)+f(cx)=f(x)+f(y)$

Jos x = 0, niin ehto 1 seuraa triviaalisti

$f(x+y)=f(y)=f(y)+0=f(y)+f(0)=f(y)+f(x)$

Tässä hyödynnettiin ehdosta 2 johdettua tietoa, että nolla-alkio kuvautuu nolla-alkioksi. $\square$.

Lineaarikuvauksen nolla- ja kuva-avaruus

Lineaarikuvaus $t:A\rightarrow B$määrää määrittelyjoukkoonsa nolla-avaruuden eli ytimen

$\mathrm {Ker} (t)=\{\mathbf {x} \in A:t(\mathbf {x} )=\mathbf {0} \}$.

Jos alkiot $x,y$ kuvautuvat kuva-avaruuden nolla-alkioksi, niiden mielivaltainen kombinaatio kuvautuu myös nolla-alkioksi lineaarisuuden aksioomien vuoksi:

$t(ax+by)=t(ax)+t(by)=at(x)+bt(y)=0\,$.

Kyseessä on siis eräs määrittelyjoukon aliavaruus. Kyseessä on algebran ydin-käsitteen erikoistapaus. Samaan tapaan muodostuu kuvauksen kuva-avaruus

$\mathrm {Im} (t)=\{x\in B:x=t(y)$, jollakin $y\in A\}$.

Kyseessä on taaskin avaruus, koska kahden kuvan mielivaltaiselle kombinaatiolle löytyy ainakin yksi alkukuva, joka on siis $A$:n alkio, jolloin kombinaatio on kuva-avaruuden alkio. Tämä on erikoistapaus kuvaryhmästä. Lineaarikuvauksen ytimen ja kuva-avaruuden dimensioiden välille voidaan osoittaa tärkeä tulos, joka tunnetaan dimensiolauseena:

$\dim(\mathrm {Ker} (t))+\dim(\mathrm {Im} (t))=\dim(A)$

Toisin sanoen ytimen ja kuva-avaruuden dimensioiden summa on aina yhtä suuri kuin sen vektoriavaruuden dimensio, josta lineaarikuvaus on määritelty.

Lineaariset funktiot, jotka eivät ole lineaarikuvauksia

Joskus, erityisesti oppikirjoissa käsitteellä lineaarinen funktio tarkoitetaan muotoa $f(x)=ax+b$ olevaa yhden reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota, jossa $a,b\in \mathbb {R}$. Nimitys johtuu siitä, että tällaisen funktion kuvaaja on aina suora eli funktion arvot muuttuvat lineaarisesti. Näin määriteltynä lineaarinen funktio ei ole lineaarikuvaus (vaan affiinikuvaus), paitsi siinä erikoistapauksessa, että $b=0$.

Katso myös

• Affiinikuvaus
• Topologia