Täydellisyys

Täydellisyys on matematiikassa topologian peruskäsite, joka tarkoittaa sitä että metrisen avaruuden jokainen Cauchyn jono suppenee kohti pistettä, joka kuuluu kyseiseen metriseen avaruuteen. Esimerkiksi avaruus $\mathbb {R} ^{n}$ on täydellinen, ja täydellisen avaruuden X osajoukko A on täydellinen, jos ja vain jos A on suljettu.

Tärkeä tulos on myös Banachin kiintopistelause, jonka mukaan täydellisen avaruuden X kontraktiolla itselleen on täsmälleen yksi kiintopiste a. Jono f(x), f(f(x)), f(f(f(x))) ... suppenee kohti tätä pistettä kaikilla $x\in X$.

Täydellisyys ei ole topologinen ominaisuus, sillä on olemassa metrisiä avaruuksia, jotka ovat homeo­morfiset, mutta joista toinen on täydellinen, toinen ei. Esimerkiksi reaalilukujen joukko $\mathbb {R}$ on täydellinen, mutta avoin väli ]0, 1[ ei, vaikka ne ovat homeo­morfiset. Esimerkiksi lukujono $(x_{n})$, jolla $x_{n}={\frac {1}{2(n+1)}}$ ja jolla siis pätee $x_{n}\in \ ]0,1[$ kaikilla $n\in \mathbb {N} \cup \{0\}$, suppenee kohti pistettä $0$, joka taas ei kuulu avoimeen väliin $]0,1[$.

Bairen lauseen mukaan täydellisten metristen avaruuksien tiheiden avointen osajoukkojen leikkaus on tiheä.

Topologiassa metrisen avaruuden (X,d) täydellistymällä tarkoitetaan paria ($\varphi$,(Y,e)), missä (Y,e) on täydellinen metrinen avaruus ja $\varphi :X\to Y$ on isometria Y:n tiheälle osajoukolle. Jokaisella metrisellä avaruudella on täydellistymä.