Pyörähdyspinta

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Pyörähdyspinta, joka saadaan, kun osa käyrästä pyörähtää z-akselin ympäri

Pyörähdyspinta on euklidisessa avaruudessa oleva pinta, joka syntyy, kun jokin käyrä (pyörähdys­pinnan generatrix) pyörähtää jonkin suoran, pyörähdys­akselin ympäri.[1]

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Yksinkertaisimpia pyörähdyspintoja ovat lieriö- ja kartiopinnat, jotka saadaan, kun suora tai jana pyörähtää jonkin akselin ympäri. Tällöin tuloksena on lieriö, jos pyörähtävä suora tai jana on yhden­suuntainen akselin kanssa, muussa tapauksessa kartio. Kun ympyrä pyörähtää jonkin halkaisijansa ympäri, tuloksena on aina pallo­pinta, jossa alku­peräinen ympyrä on isoympyränä. Sen sijaan jos ympyrä pyörähtää sellaisen akselin ympäri, joka ei kulje ympyrän sisään jäävän alueen eli kiekon kautta, tuloksena on toruspinta, joka ei leikkaa itseään.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pyörähdspinnan ja sellaisen tason leikkauksia, johon sen akseli kuuluu, sanotaan meri­dio­naali­siksi leikkauksiksi. Jokaista meri­dio­naa­lista leikkausta voidaan pitää pinnan genera­trixina leikkauksen ja akselin määrittämässä tasossa.[2]

Pyörähdyspinnan ja sen akselia vastaan kohtisuorien tasojen leikkaukset ovat ympyröitä. Pyörähdyspinnan ja kahden tällaisen tason rajoittama kappale on pyörähdyskappale.

Jotkin hyperboloidit, laskettiinpa mukaan sen molemmat haarat tai vain toinen niistä, sekä jotkin elliptiset paraboloidit ovat pyörähdys­pintoja. Sellaisia ovat ne toisen asteen pinnat, joiden poikki­leikkaus akselia vastaan kohti­suorassa suunnassa on ympyrä.

Jos generatrix on jonkin funktion kuvaaja ja tämä pyörähtää x-akselin ympäri, pyörähdys­pinnan käsittävät ne avaruuden pisteet (x, y, z), joiden etäisyys x-akselista on f(x) eli jotka toteuttavat yhtälön:

.[3]

Pinta-ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos pyörähtävällä käyrällä on parametriesitys , missä t vaihtelee jollakin välillä ja pyörähdys­akselina on y-akseli, pyörähdys­pinnan pinta-ala Ay voidaan laskea integraalilla

edellyttäen, että x(t) ei päätepisteiden a ja b välillä saa missään negatiivisia arvoja. Tämä lauseke seuraa Pappuksen sentroidilauseesta.[4] Tässä esiintyvä lauseke

seuraa Pythagoraan lauseesta ja esittää käyrän kaaren pinentä osuutta samoin kuin kaaren­pituuden kaaassa. Lauseke on sen matkan pituus, jonka tämä käyrän osa kulkee käyrän pyörähtäessä, kuten Pappuksen lause edellyttää.

Samaan tapaan jos pyörähdys­akselina on x-akseli eikä lauseke saa missään negatiivisia arvoja, pyörähdys­pinnan ala on[5]

Jos käyrä voidaan esittää funktiolla , integraali yksinkertaistuu muotoon

[3]

kun käyrä pyörähtää x-akselin ympäri, ja muotoon

kun se pyörähtää y-akselin ympäri ja ayb.

Esimerkiksi yksikköpallo saadaan, kun yksikköympyrä eli käyrä , missä t on välillä [0,π], pyörähtää x-akselin ympäri. Sen pinta-ala on siis

Yleisemmin ympyrällä, jonka säde on r, on parametri­esitys . Kun se pyörähtää x-akselin ympäri, syntyy pallopinta, jonka ala on

Minimaalinen pyörähdyspinta on kahden pisteen välisten käyrien määrittämistä pyörähdys­pinnoista se, jonka pinta-ala on pienin eli joka minimoi pinta-alan.[6] Yksi variaatiolaskennan keskeisimmistä tehtävistä on löytää kahden pisteen välisistä käyristä se, joka tuottaa minimaalisen pyörähdyspinnan.[6]

Ainoat minimaaliset pyörähdys­pinnat ovat taso ja katenoidi.[7]

Funktion pyörähdys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Minkä tahansa skalaari­funktion kuvaajaa vastaava pyörähdys­pinta voidaan muodostaa asettamalla u funktion parametriksi ja samalla pyörähdys­akselin funktioksi ja pyöräyttämällä funktio akselin ympäri v:n avulla valitsemalla kahdeksi muuksi funktioksi ja Esimerkiksi funktion kuvaaja voidaan pyöräyttää x-akselin ympäri aloittamalla xz-tason ylä­puolelta ja para­metroimalla se

missä ja .

Geodesia pyörähdyspinnalla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Geodesian pyörähdyspinnalla määrittää Clairaut'n relaatio.

Toroidit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Neliön generoima toroidi

Pyörähdys­pintaa, jonka rajoittamassa kappaleessa on reikä ja jonka pyörähdys­akseli ei leikkaa pintaa, sanotaan toroidiksi.[8] Esimerkiksi kun suorakulmio pyörähtää sen jomman­kumman sivun suuntaisen, mutta kokonaan suora­kulmion ulko­puolella olevan akselin ympäri, syntyy ontto rengas, jonka poikki­leikkaus on suora­kulmainen. Jos pyörähtävä käyrä on ympyrä, syntyvää toroidia sanotaan torukseksi.

Sovelluksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pyörähdys­pinnoilla on keskeinen merkitys monilla fysiikan ja insinööri­tieteiden aloilla. Kun kappaleita kuvataan digitaalisesti, pyörähdys­kappaleita voidaan usein käyttää pinta-alojen määrittämiseen tarvitsematta mitata kuvattavan kappaleen pituutta ja sädettä.

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Surface of revolution

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Middlemiss, Marks, Smart: ”Kappale 15.4: Surfaces of Revolution”, Analytic Geometry, 3. painos, s. 378. {{{Julkaisija}}}.
  2. Wilson, W. A. & Tracey, J. I.: Analytic Geometry, s. 227. D.C. Heath and Co., 1925.
  3. a b Myrberg, Lauri: ”Pyörähdyspinnan ala”, Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1, s. 283–285. Kirjayhtymä, 1977. 951-26-0936-3.
  4. Thomas, George B.: ”6.7: Area of a Surface of Revolution; 6.11: The Theorems of Pappus”, Calculus, 3. painos, s. 206–209, 217–219. {{{Julkaisija}}}.
  5. Singh, R. R.: Engineerin Mathematics, 6. painos, s. 6.90. Tata McGraw-Hill, 1993. ISBN 0-07-014615-2. Teoksen verkkoversio.
  6. a b Minimal Surface of Revolution Wolfram MathWorld. Viitattu 23.9.2016.
  7. Catenoid Wolfram MathWorld. Viitattu 23.9.2016.
  8. Toroid Wolfram MathWorld. Viitattu 23.9.2016.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]