Polynomirengas

Mielivaltaisen renkaan R yli otetut polynomit, eli polynomit, joiden kertoimet kuuluvat renkaaseen R, muodostavat polynomirenkaan $R[x]$. Ne ovat erittäin tärkeitä muun muassa kuntalaajennusten generoimisessa.

Yleistä

Määritelmä

Jos polynomit ajatellaan tuttuun tapaan funktioiksi vaihdannaisessa renkaassa (R,+,·), niillä on tavalliseen tapaan määritellyt kuvaustulo ja yhteenlasku: (fg)(x) = f(x) · g(x) ja (f+g)(x) = f(x) + g(x), jossa + -laskulle merkintöjen yksinkertaistamiseksi on käytetty samaa merkintää sekä funktioiden että alkioiden välillä, vaikka kyseessä tarkkaan ottaen on eri laskutoimitus. Yleensä tästä ei aiheudu sekaannuksia, tarvittaessa niille voidaan käyttää eri merkintöjä. Jos polynomit ajatellaan muodollisina kirjoitelmina, niiden laskutoimitus voidaan määritellä yhtäpitävästi edellisen kanssa:

Määritelmä 1

Kun $p(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{n}x^{n}$ ja $q(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{m}x^{m}$, missä $n\geq m$, niin

• $p(x)+q(x)=(a_{0}+b_{0})+(a_{1}+b_{1})x+\cdots +(a_{n}+b_{n})x^{n}+b_{n+1}x^{n+1}+\cdots +b_{m}x^{m}$
• $p(x)q(x)=a_{0}b_{0}+(a_{0}b_{1}+a_{1}b_{0})x+(a_{0}b_{2}+a_{1}b_{1}+a_{2}b_{0})x^{2}+\cdots +a_{n}b_{m}x^{n+m}$.

Polynomit muodostavat kommutatiivisen eli vaihdannaisen renkaan näiden laskutoimitusten suhteen, kun nolla-alkiona on vakiopolynomi 0 ja ykkösalkiona vakiopolynomi 1.

Polynomit funktioina

Renkaan R vaihdannaisuutta tarvittiin polynomien funktiotulkinnassa. Tarkastellaan esimerkkinä ei-vaihdannaista 2×2-reaalimatriisien rengasta ${\mathcal {M}}_{2\times 2}(\mathbb {R} )$, laskutoimituksina matriisien yhteen- ja kertolasku. Olkoon $A={\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}}$ ja $B={\begin{bmatrix}1&0\\0&2\end{bmatrix}}$. Tällöin polynomifunktioiden tulo(A + x)(B + x) = AB + Ax + xB + x² on aidosti erisuuri kuin määritemän 1 muodollisen tulon lauseke AB + (A+B)x + x², sillä kun $x={\begin{bmatrix}1&1\\1&1\end{bmatrix}}$, niin $Ax+xB={\begin{bmatrix}2&2\\1&1\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1&2\\1&2\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\2&3\end{bmatrix}}$, mutta $(A+B)x={\begin{bmatrix}3&3\\3&3\end{bmatrix}}$. Määritelmän 1 mukaisin laskutoimituksin varustetut polynomit yli ei-vaihdannaisen renkaan R käyttäytyvät siis eri tavoin kuin polynomifunktiot yli R:n. Näin ollen tällaisen polynomirenkaan tutkimisessa ei voida käyttää polynomien funktiotulkintaan pohjaavia menetelmiä. Näiden menetelmien käyttöarvo on niin suuri, että polynomirenkaita käsiteltäessä yleensä oletetaan kerroinrengas vaihdannaiseksi.

Funktiotulkinnan hyödyllisyyden syy on sijoitusperiaate, jonka mukaan jos rengas R on vaihdannainen, jokainen polynomien välinen yhtälö pysyy voimassa, kun x:n paikalle sijoitetaan mikä tahansa renkaan alkio c.

Polynomien jaollisuus

Polynomirenkaassa on muiden renkaiden tapaan jaollisuussuhteita alkioiden välillä. Erityisen tärkeässä osassa - erityisesti kuntalaajennusten kannalta - ovat mahdollisimman hieno- ja karkeajakoiset polynomit: toisaalta jaottomat polynomit ja toisaalta sellaiset polynomit, jotka hajoavat kokonaan lineaaristen eli 1. astetta olevien polynomien tuloksi.

Eri polynomirenkaiden jaollisuusluonteissa on tiettyjä yhteisiä piirteitä, mutta ensisijaisesti polynomirenkaan R[x] luonteen määrittää rengas R. Näin siksi, että R[x] sisältää vakiopolynomien (eli astetta 0 olevien polynomien) muodossa R:n kanssa isomorfisen alirenkaan. Erityisesti R[x] on jaollisuutta ajatellen vähintään yhtä epäsäännöllinen kuin R. Jos esimerkiksi R ei ole yksikäsitteisen tekijöihinjaon alue, ei R[x] voi myöskään olla sellainen, löytyyhän vastoin todistava esimerkki mainitun isomorfismin perusteella jo vakiopolynomien joukosta.

Koska kunnat ovat jaollisuuden suhteen säännöllisimpiä renkaita (kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat jaollisia toisillaan), polynomirenkaat yli kuntien ovat jaollisuuden suhteen säännöllisimpiä renkaita. Niiden jaollisuusominaisuudet ovat pääosin samanlaiset kuin reaalikertoimisten polynomifunktioiden, siis erikoistapauksen $\mathbb {R} [x]$.

Polynomien jakoyhtälö

Polynomien jaollisuuden tutkiminen perustuu polynomien jakoyhtälöön, jonka esikuvana on kokonaislukujen jakoyhtälö. Mikäli polynomin b(x) korkeimman asteen termin kerroin on renkaan R yksikkö, polynomi a(x) voidaan jakaa b(x):llä siten, että jakojäännöspolynomin aste on b(x):n astetta alhaisempi, toisin sanoen on olemassa polynomit q(x) ja r(x), jotka toteuttavat seuraavat kaksi ehtoa:

1. a(x) = q(x)b(x) + r(x)
2. deg r(x) < deg b(x)

Olkoon nyt c renkaan R alkio. Valitsemalla jakoyhtälössä b(x) = x - c saadaan yhtälö a(x) = q(x)(x - c) + r, missä r = r(x) on vakio, sillä sen aste on < 1. Jos nyt R on vaihdannainen, voidaan hyödyntää sijoitusperiaatetta asettamalla muodollisen muuttujan x paikalle alkio c, jolloin saadaan edeltävää yhtälöä oikealta vasemmalle lukien r + q(x)(c - c) = a(c), eli r = a(c). Siis kaikilla mainitun tyyppisillä a(x) ja c on olemassa jokin R[x]:n alkio q(x), jolle a(x) = q(x)(x - c) + a(c). Tätä tulosta kutsutaan jäännöslauseeksi. Jäännöslauseen ylivoimaisesti tärkein seuraus on, että mikäli R:n alkio c on polynomifunktion f(x) nollakohta, niin lineaarinen polynomi (x - c) jakaa f(x):n.

Jos rengas R on jopa kokonaisalue, on jäännöslause voimassa, sillä kokonaisalueet ovat aina vaihdannaisia. Se myös yleistyy siten, että mikäli R:n alkiot c₁, c₂, ... , c_k ovat polynomin f(x) erisuuria nollakohtia, niin tulo (x - c₁)(x - c₂)···(x - c_k) jakaa f(x):n. Tämä nähdään seuraavasti induktiolla k:n suhteen:

1. Kun k = 1, väite on jäännöslause.
2. Tehdään induktio-oletus, jonka mukaan väite on voimassa kaikille s -1 nollakohdan joukoille.
3. Olkoon c₁, c₂, ... , c_k k f(x):n k erisuurta nollakohtaa. Induktio-oletuksen mukaan f(x) = (x - c₂)···(x - c_k)g(x) jollain g(x) ∈ R[x], joten sijoittamalla x = c₁ saadaan 0 = (c₁ - c₂)···(c₁ - c_k)g(c₁). Koska R[x]:ssä ei kokonaisalueena ole nollanjakajia, täytyy olla g(c₁) = 0, josta puolestaan seuraa jäännöslauseen mukaan, että x - c₁ jakaa g(x):n. Näin ollen f(x) = (x - c₂)(x - c₂)···(x - c_k)g(x), mikä osoittaa väitteen pitävän paikkansa myös k:n erisuuren nollakohdan joukoille.

Tällä tuloksella on se merkittävä seuraus, että polynomilla (≠ 0) kokonaisalueen yli voi olla korkeintaan oman asteensa verran nollakohtia. Kääntäen on voimassa, että polynomilla yli renkaan, joka ei ole kokonaisalue voi olla tätä enemmän nollakohtia.

Katso myös

• Kuntalaajennusten teoriassa polynomit ovat yhdessä päärooleista.
• Eisensteinin jaottomuuskriteeri on käyttökelpoinen työkalu, kun tarkoitus on osoittaa polynomin yli yksikäsitteisen tekijöihinjaon alueen olevan jaoton.
• Polynomin f(x) yli annetun kunnan nollakohta on useankertainen nollakohta silloin ja vain silloin, kun se on myös f(x):n muodollisen derivaatan nollakohta.