Jakoyhtälö
Tätä artikkelia tai sen osaa on pyydetty parannettavaksi, koska se ei täytä Wikipedian laatuvaatimuksia. Voit auttaa Wikipediaa parantamalla artikkelia tai merkitsemällä ongelmat tarkemmin. Lisää tietoa saattaa olla keskustelusivulla. Tarkennus: määritelmä ja väliotsikointi |
Jakoyhtälö on yhtälö, joka osoittaa, miten kokonaisluku a voidaan esittää toisen kokonaisluvun b avulla yhdellä ja vain yhdellä tavalla muodossa a = q · b + r, missä q ja r ovat kokonaislukuja ja . Lukua a sanotaan jaettavaksi, lukua b jakajaksi, q sanotaan (kokonaiseksi) osamääräksi ja lukua r jakojäännökseksi.[1]
Jakoyhtälö on oleellisesti sama asia kuin jakolasku käytettäessä ainoastaan kokonaislukuja. Tässä muodossa jakolasku opetetaan vanhastaan koulun alemmilla luokilla, ennen kuin murto- ja desimaaliluvut myöhemmin otetaan käyttöön. Tällöin jako ei aina mene tasan, vaan tuloksena saadaan osamäärän ohella myös jakojäännös, joka tosin saattaa olla myös nolla. Siinä tapauksessa sanotaan, että x on jaollinen y:llä.
Jakoyhtälöä käytetään sellaisilla matematiikan aloilla, joissa käytetään vain kokonaislukuja. Siihen perustuu esimerkiksi Eukleideen algoritmi, jonka avulla voidaan löytää kahden kokonaisluvun suurin yhteinen tekijä. Lisäksi sen avulla määritellään erityinen kongruenssirelaatio. Kongruenssiyhtälöissä lasketaan jakojäännöksillä.
Vastaavalla tavalla kuin kokonaislukujen joukossa voidaan jakoyhtälö määritellä myös polynomeille sekä yleensäkin jokaisessa algebrallisessa renkaassa, joka ei ole kunta.
Olemassaolo ja yksikäsitteisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Lause:
- Olkoot ja kokonaislukuja ja . Tällöin on olemassa sellaiset yksikäsitteiset kokonaisluvut ja , että
- .
Todistus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Olemassaolo[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Olkoon b > 0 ja joukko A = {a - nb, }.
Hyvän järjestyksen periaatteen nojalla joukossa A on pienin positiivinen alkio .
Nyt , koska muuten olisi vielä pienempi kokonaisluku.
Näin siis
Jos b < 0, käytetään edellistä sijoittamalla b:n tilalle -b, jolloin .
Yksikäsitteisyys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
Olkoon ja .
Tällöin qb + r = q'b + r' eli (q' - q)b = r - r'.
Tehdään vastaoletus: .
Nyt , koska q' ja q ovat kokonaislukuja.
Edelleen .
Toisaalta
- .
Näin olisi , mikä on ristiriita.
Vastaoletus on väärä, joten .
Tällöin 0*b = r - r' eli r - r' = 0 eli r = r', mikä oli todistettava.
Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]
- ↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 163. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.