Suurin yhteinen tekijä

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa kahden kokonaisluvun a ja b suurin yhteinen tekijä, merkitään syt(a, b) tai pelkästään (a, b), tarkoittaa suurinta sellaista lukua, joka jakaa molemmat luvut a ja b niin, että lopputulos on kokonaisluku. Suurin yhteinen tekijä voidaan etsiä jakamalla tarkasteltavina olevat luvut alkutekijöihin. Tällöin lukujen suurin yhteinen tekijä saadaan ottamalla ne alkuluvut, jotka esiintyvät molempien lukujen alkutekijähajotelmassa korotettuna siihen potenssiin, joka on pienempi tämän kyseisen alkuluvun eksponentti lukujen alkutekijähajotelmissa. Suurin yhteinen tekijä on tällöin saatujen lukujen tulo. Siis jos

ja
,

jossa on i:s alkuluku, ja jos ei ole luvun tekijä, sitä vastaava eksponentti tai on nolla, saadaan suurin yhteinen tekijä kaavasta

Suurin yhteinen tekijä voidaan löytää myös esimerkiksi Eukleideen algoritmin avulla.

Algebrallinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisessa mielessä kokonaislukujen suurimmalla yhteisellä tekijällä tarkoitetaan näiden lukujen virittämän kokonaislukujen renkaan ideaalin virittäjää.

Jos luvut ovat kaikki nollia, niiden virittämä ideaali koostuu pelkästään luvusta .

Kokonaislukujen rengas on kommutatiivinen eli vaihdannainen rengas. Lisäksi se on kokonaisalue, toisin sanoen siinä ei ole nollasta eroavia nollanjakajia, ja edelleen niin sanottu pääideaalialue, toisin sanoen sen jokainen ideaali on yhden alkion virittämä.

Väite, että jokainen kokonaislukujen renkaan äärellisesti viritetty ideaali on yhden alkion virittämä, voidaan todistaa seuraavasti:

Olkoon kaikilla kokonaislukujen virittämä renkaan ideaali. Olkoon tämän ideaalin pienin positiivinen alkio ja .

Helposti todetaan, että jokainen :n monikerta sisältyy ideaaliin .

Olkoon toisaalta ideaalin mielivaltainen alkio ja , jossa .

Tällöin .

Siis kuuluu ideaaliin . Jos on suurempi kuin nolla, saadaan ristiriita luvun valinnan kanssa. Siis välttämättä jokainen ideaalin alkio on luvun monikerta.

Toisin sanoen lukujen virittämä ideaali on sama, kuin ko. ideaalin pienimmän positiivisen alkion virittämä ideaali. Tätä lukua kutsutaan lukujen suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Lukujen 12 ja 15 suurin yhteinen tekijä on 3. Tämä nähdään jakamalla luvut tekijöihin: 12 = 22 · 3 ja 15 = 3 · 5.
  • Lukujen 132 ja 222 suurin yhteinen tekijä syt(132,222) = 6, koska 132 = 22 · 3 · 11 ja 222 = 2 · 3 · 37.

Yksinkertainen käytännön esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon tehtävänä peittää suorakaiteen muotoisen huoneen, jonka leveys a ja pituus b ovat kokonaislukuja, lattia mahdollisimman suurilla keskenään samankokoisilla neliön muotoisilla laatoilla. Miten laatan sivun pituus c on valittava?

Ratkaisun antaa lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä suoraan. Siis valitaan c=syt(a,b).

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jos syt(a, b) = 1, a ja b ovat keskenään jaottomia.
  • syt(a, b) = syt(b, a) = syt(|a|, |b|)
  • syt(0, a) = a
  • syt(a, b) min(|a|, |b|)
  • syt(a, b) = syt(a - kb, b), jossa k on kokonaisluku
  • Eukleideen algoritmi: syt(a, b) = syt(b, a modulo b)

Käytännössä nopein tapa määrittää kahden luvun suurin yhteinen tekijä on käyttää Josef Steinin vuonna 1961 julkaisemaa binääristä algoritmia, mikäli lukujen alkutekijähajotelmaa ei tunneta.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]