Suurin yhteinen tekijä

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Matematiikassa kahden kokonaisluvun a ja b suurin yhteinen tekijä, merkitään syt(a, b) tai pelkästään (a, b), tarkoittaa suurinta sellaista lukua, joka jakaa molemmat luvut a ja b niin, että lopputulos on kokonaisluku. Suurin yhteinen tekijä voidaan etsiä jakamalla tarkasteltavina olevat luvut alkutekijöihin. Tällöin lukujen suurin yhteinen tekijä saadaan ottamalla ne alkuluvut, jotka esiintyvät molempien lukujen alkutekijähajotelmassa korotettuna siihen potenssiin, joka on pienempi tämän kyseisen alkuluvun eksponentti lukujen alkutekijähajotelmissa. Suurin yhteinen tekijä on tällöin saatujen lukujen tulo. Siis jos

a = p_1^{a_1}p_2^{a_2} \cdot\cdot\cdot p_n^{a_n} ja
b = p_1^{b_1}p_2^{b_2} \cdot\cdot\cdot p_n^{b_n} ,

jossa p_i on i:s alkuluku, ja jos p_i ei ole luvun tekijä, sitä vastaava eksponentti a_i tai b_i on nolla, saadaan suurin yhteinen tekijä kaavasta

syt(a,b) = p_1^{min(a_1,b_1)}p_2^{min(a_2,b_2)} \cdot\cdot\cdot p_n^{min(a_n,b_n)}

Suurin yhteinen tekijä voidaan löytää myös esimerkiksi Eukleideen algoritmin avulla.

Algebrallinen määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisessa mielessä kokonaislukujen a_1,a_2,...,a_n suurimmalla yhteisellä tekijällä tarkoitetaan näiden lukujen virittämän kokonaislukujen renkaan ideaalin virittäjää.

Jos luvut a_1,a_2,...,a_n ovat kaikki nollia, niiden virittämä ideaali koostuu pelkästään luvusta 0.

Kokonaislukujen rengas \mathbb{Z} on kommutatiivinen eli vaihdannainen rengas. Lisäksi se on kokonaisalue, toisin sanoen siinä ei ole nollasta eroavia nollanjakajia, ja edelleen niin sanottu pääideaalialue, toisin sanoen sen jokainen ideaali on yhden alkion virittämä.

Väite, että jokainen kokonaislukujen renkaan \mathbb{Z} äärellisesti viritetty ideaali on yhden alkion virittämä, voidaan todistaa seuraavasti:

Olkoon I=\lbrace c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n\vert c_i\in Z
kaikilla i=1,...,n\rbrace kokonaislukujen a_1,a_2,...,a_n virittämä renkaan \mathbb{Z} ideaali. Olkoon d tämän ideaalin pienin positiivinen alkio ja d=d_1a_1+d_2a_2+...+d_na_n.

Helposti todetaan, että jokainen d:n monikerta sisältyy ideaaliin I.

Olkoon toisaalta c=c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n ideaalin I mielivaltainen alkio ja c=ed+f, jossa 0\leq f\le d.

Tällöin f = c - ed=(c_1a_1+c_2a_2+...+c_na_n)
-e(d_1a_1+d_2a_2+...+d_na_n)=(c_1-ed_1)a_1+(c_2-ed_2)a_2+...
+(c_n-ed_n)a_n.

Siis f kuuluu ideaaliin I. Jos f on suurempi kuin nolla, saadaan ristiriita luvun d valinnan kanssa. Siis välttämättä jokainen ideaalin I alkio on luvun d monikerta.

Toisin sanoen lukujen a_1,a_2,...a_n virittämä ideaali on sama, kuin ko. ideaalin pienimmän positiivisen alkion d virittämä ideaali. Tätä lukua d kutsutaan lukujen a_1,a_2,...,a_n suurimmaksi yhteiseksi tekijäksi.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Lukujen 12 ja 15 suurin yhteinen tekijä on 3. Tämä nähdään jakamalla luvut tekijöihin: 12 = 22 · 3 ja 15 = 3 · 5.
  • Lukujen 132 ja 222 suurin yhteinen tekijä syt(132,222) = 6, koska 132 = 22 · 3 · 11 ja 222 = 2 · 3 · 37.

Yksinkertainen käytännön esimerkki[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon tehtävänä peittää suorakaiteen muotoisen huoneen, jonka leveys a ja pituus b ovat kokonaislukuja, lattia mahdollisimman suurilla keskenään samankokoisilla neliön muotoisilla laatoilla. Miten laatan sivun pituus c on valittava?

Ratkaisun antaa lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä suoraan. Siis valitaan c=syt(a,b).

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Jos syt(a, b) = 1, a ja b ovat keskenään jaottomia.
  • syt(a, b) = syt(b, a) = syt(|a|, |b|)
  • syt(0, a) = a
  • syt(a, b) \leq min(|a|, |b|)
  • syt(a, b) = syt(a - kb, b), jossa k on kokonaisluku
  • Eukleideen algoritmi: syt(a, b) = syt(b, a modulo b)

Käytännössä nopein tapa määrittää kahden luvun suurin yhteinen tekijä on käyttää Josef Steinin vuonna 1961 julkaisemaa binääristä algoritmia, mikäli lukujen alkutekijähajotelmaa ei tunneta.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]