Pienin yhteinen jaettava

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Kahden tai useamman kokonaisluvun pienin yhteinen jaettava, p.y.j., on matematiikassa pienin kokonaisluku, joka on tasan jaollinen kyseessä olevilla luvuilla. Käytännössä p.y.j. ilmaantuu esimerkiksi murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa (ks. esimerkki alla). Se on mahdollista määrätä jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja kertomalla niiden tekijöiden korkeimmat potenssit.

Formaalisti kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen jaettava, pyj(a,b) = m, on pienin sellainen luku, jota kohti on olemassa sellaiset luonnolliset luvut ja , että

.

Siis jos

,

missä on i:s alkuluku ja jos ei ole luvun tekijä, sitä vastaava eksponentti tai on nolla, saadaan pyj-kaavaksi


Esimerkki:

  • Lukujen 18 ja 20 p.y.j.
.

Huomaa, että ja , eli pyj on jaollinen luvuilla 18 ja 20. Lisäksi jos joku luku on jaollinen luvuilla 18 ja 20, se on jaollinen myös luvulla 180. Esimerkiksi 18 · 20 = 360 = 2 · 180

---

  • Lukujen 26 ja 28 p.y.j.

---

  • Pienintä yhteistä jaettavaa voidaan hyödyntää murtolukujen yhteenlaskussa.

Lasketaan ensin pyj(18,20) = 180. Lavennetaan tämän jälkeen murtoluvut samannimisiksi, eli että kummankin nimittäjä on 180. Kerroin saadaan jakamalla pyj nimittäjällä: 180/18=10, 180/20=9.


Voidaan osoittaa, että luonnollisille luvuille n ja p pätee:

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Rosen, Kenneth H.: Elementary Number Theory and Its Applications, s. 72. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]