Pienin yhteinen jaettava

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kahden tai useamman kokonaisluvun pienin yhteinen jaettava, p.y.j., on matematiikassa pienin kokonaisluku, joka on tasan jaollinen kyseessä olevilla luvuilla. Käytännössä p.y.j. ilmaantuu esimerkiksi murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskussa (ks. esimerkki alla). Se on mahdollista määrätä jakamalla luvut alkutekijöihinsä ja kertomalla niiden tekijöiden korkeimmat potenssit.

Formaalisti kahden luonnollisen luvun a ja b pienin yhteinen jaettava, pyj(a,b) = m, on pienin sellainen luku, jota kohti on olemassa sellaiset luonnolliset luvut ja , että

.

Siis jos

,

missä on i:s alkuluku ja jos ei ole luvun tekijä, sitä vastaava eksponentti tai on nolla, saadaan pyj-kaavaksi


Esimerkki:

  • Lukujen 18 ja 20 p.y.j.
.

Huomaa, että ja , eli pyj on jaollinen luvuilla 18 ja 20. Lisäksi jos joku luku on jaollinen sekä 18 että 20, se on jaollinen luvulla 180. Esimerkiksi 18 · 20 = 360 = 2 · 180

---

  • Lukujen 26 ja 28 p.y.j.

---

  • Pienintä yhteistä jaettavaa voidaan hyödyntää murtolukujen yhteenlaskussa.

Lasketaan ensin pyj(18,20) = 180. Lavennetaan tämän jälkeen murtoluvut samannimisiksi, eli että kummankin nimittäjä on 180. Kerroin saadaan jakamalla pyj nimittäjällä: 180/18=10, 180/20=9.


Voidaan osoittaa, että luonnollisille luvuille n ja p pätee:

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]