Navierin–Stokesin yhtälöt

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Navierin-Stokesin yhtälöt on joukko yhtälöitä, jotka kuvaavat fluidien eli nesteiden ja kaasujen liikettä. Yhtälöt kertovat, että muutokset fluidiosasen liikemäärässä johtuvat paineen ja fluidin sisäisten viskoosien voimien (kitka) vaihtelusta. Navierin-Stokesin yhtälö on siis tasapainoyhtälö fluidiin vaikuttaville voimille. Yhtälöt on nimetty Claude-Louis Navierin ja George Gabriel Stokesin mukaan.[1]

Yhtälöt ovat erittäin käyttökelpoisia monilla fysiikan osa-alueilla. Niitä voidaan käyttää muun muassa mallintamaan säätä, merivirtoja, nesteen virtausta putkessa tai ilman liikettä lentokoneen siiven ympärillä. Siksi niitä käytetään muun muassa autojen ja ilma-alusten muotoilun tai voimalaitosten suunnittelussa sekä saasteiden leviämisen arvioinnissa.

Navierin-Stokesin yhtälöt ovat differentiaaliyhtälöitä. Tämä tarkoittaa sitä, että toisin kuin algebralliset yhtälöt, jotka kuvaavat muuttujien kuten nopeuden ja paineen välisiä suhteita, nämä yhtälöt kuvaavat muuttujien muutosnopeuksien eli derivaattojen suhteita. Yksinkertaisimman muotonsa ne saavat ideaalifluidiin sovellettuina, jolloin viskoosit voimat ovat nollia. Nämä voimat johtuvat fluidin molekyylien vuorovaikutuksesta, ja niiden suuruus kuvaa, kuinka "paksua" fluidi on. Tällöin yhtälö kertoo, että kiihtyvyys (nopeuden muutosnopeus) on verrannollinen sisäisen paineen muutokseen.

Käytännössä kaikissa tapauksissa Navier-Stokes-yhtälöiden ratkaisut täytyy löytää numeerisesti tietokoneiden avulla.

Vaikka turbulenssi on mitä tavallisin arkipäivän ilmiö, turbulenssiongelmiin on äärimmäisen vaikea löytää ratkaisuja. Toukokuussa 2000 Clay-instituutti (Clay Mathematics Institute) listasi Navierin-Stokesin yhtälöt niiden seitsemän ratkaisemattoman ongelman joukkoon, joiden ratkaisusta on luvattu miljoona dollaria. Palkinnon saa se, joka kehittää merkittävästi tämän ilmiön selittävää matemaattista teoriaa. Kazakstanilaisen matemaatikko Mukhtarbay Otelbayevin artikkeli saattaa kehittää yhtälöitä niin pitkälle, että Clay-instituutti myöntää palkinnon hänelle. Artikkelin tarkastaminen on kesken.[2] [3]

Matemaattinen muotoilu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kokoonpuristumattoman fluidin Navierin–Stokesin yhtälöt karteesisessa koordinaatistossa voidaan esittää muodossa [1]

\rho g_x - \frac{\partial p}{\partial x} + \mu(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}) = \rho\frac{du}{dt}
\rho g_y - \frac{\partial p}{\partial y} + \mu(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial z^2}) = \rho\frac{dv}{dt}
\rho g_z - \frac{\partial p}{\partial z} + \mu(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2}) = \rho\frac{dw}{dt},

missä \scriptstyle x, \scriptstyle y ja \scriptstyle z määrittelevät paikan koordinaatistossa, \scriptstyle u \scriptstyle x-suuntainen, \scriptstyle v \scriptstyle y-suuntainen ja \scriptstyle w \scriptstyle z-suuntainen nopeuden komponentti, \scriptstyle \rho fluidin tiheys ja \scriptstyle \mu dynaaminen viskositeetti. Kokonaisderivaatat (ei osittais-) on tässä laskettu "liikettä seuraten", yksittäisen fluidipaketin näkökulmasta.

Tämä voidaan esittää kompaktimmin vektorimuodossa käyttäen nabla-operaattoria sekä lauseketta ns. kinemaattiselle viskositeetille \nu = \mu/\rho:

\frac{\textrm{d}\vec{U}}{\textrm{d}t} = -\frac{1}{\rho} + \nu \nabla^2 \vec{U} + \vec{g}\,

tai lokaalin derivaatan ja advektio-operaattorin avulla esitettynä

\frac{\partial \vec{U}}{\partial t}+(\vec{U}\cdot\nabla)\vec{U} = -\frac{1}{\rho} + \nu \nabla^2 \vec{U} + \vec{g}\,

missä \vec{U}=u\hat{i}+v\hat{j}+w\hat{k} on virtausnopeus.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]


Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]