Hodgen otaksuma

Hodgen otaksuma tai Hodgen konjektuuri on eräs tärkeimmistä algebrallisen geometrian ratkaisemattomista ongelmista. Se liittyy epäsingulaarisiin kompleksisiin algebrallisiin varistoihin ja niiden alivaristoihin. Varistoa voidaan ajatella polynomien muodostaman yhtälöryhmän ratkaisuina. Karkeasti sanottuna Hodgen konjektuuri kertoo, että tietyt hyvin abstraktit Hodgen kohomologialuokat voidaan aina rakentaa alivaristoista, eli niillä on jonkinlainen geometrinen linkki.

Hodgen otaksuma on nimetty skotlantilaisen William Vallance Douglas Hodgen mukaan. Otaksuma on yksi Clay-instituutin Millennium-ongelmista, eli ongelman ratkaisijalle on luvattu miljoonan Yhdysvaltain dollarin palkinto. Hodgen konjektuuria pidetään usein Millennium-ongelmista kaikista vaikeimpana selittää maallikolle.

Hodgen otaksuman väite

Hodgen otaksuma sanoo, että tietyt de Rhamin kohomologialuokat ovat algebrallisia, eli summia alivariston kohomologialuokkien Poincarén duaaleista.

Olkoon

$\operatorname {Hdg} ^{k}(X)=H^{2k}(X,\mathbf {Q} )\cap H^{k,k}(X).$

Tätä ryhmää sanotaan X:n astetta 2k oleviksi Hodgen luokkien muodostamaksi ryhmäksi. Hodgen otaksuma kuuluu:

Olkoon X projektiivinen kompleksinen monisto. Tällöin jokainen Hodgen luokka X:ssä on rationaalinen lineaarikombinaatio X:n kompleksisten alivaristojen kohomologialuokista.

Projektiivinen kompleksinen monisto on kompleksinen monisto, joka voidaan upottaa kompleksiseen projektiiviseen avaruuteen. Koska projektiivisessa avaruudessa on Fubinin–Studyn metriikka, tällainen monisto on aina Kählerin monisto. Chowin lauseen mukaan kompleksinen monisto on myös sileä projektiivinen algebrallinen monisto, eli se on homogeenisten polynomien nollakohtien kokoelma.

Lähteet

Clay-instituutin seitsemän Millennium-ongelmaa

• P=NP
• Hodgen otaksuma
• Poincarén otaksuma (ratkaistu)
• Riemannin hypoteesi

• Yangin–Millsin olemassaolo
• Navierin–Stokesin yhtälöt
• Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri