Poincarén otaksuma

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Poincarén otaksuma eli Poincarén konjektuuri on puhtaasti matemaattinen otaksuma, jonka mukaan jokainen kompakti yhdesti yhtenäinen[1] n-monisto on homeomorfinen n-pallon kanssa. Sen todisti oikeaksi Grigori Perelman vuonna 2002 erikoistapauksena Thurstonin geometrisointiotaksumasta. Poincarén otaksuma liittyy topologiaan, jossa tutkitaan pintojen samankaltaisuutta. Otaksumassa on kysymys siitä, ovatko tietyn tyyppiset pinnat perusrakenteeltaan samanlaisia kuin pallon pinta.[2] Otaksuman mukaan tiettyjä n-ulotteisen pallon ominaisuuksia omaava monisto onkin n-ulotteinen pallo.[3]

»Jos suljetulla, yhtenäisellä 3-monistolla M jokainen ympyrä voidaan deformoida pisteeksi, niin M on homeomorfinen 3-pallon kanssa.»
(- Poincarén otaksuman kolmiulotteinen tapaus.[4])

Henri Poincaré päätteli vuonna 1900, että missä tahansa ulottuvuudessa yksinkertaisin kappale on aina tasainen pallo ilman koloja. Yksiulotteisessa se on piste, kaksiulotteisessa ympyrä, kolmiulotteisessa pallo jne.[5] Konjektuurissa on kyse todistaa tämä kaikille ulottuvuuksille.

Todistukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos kaksiulotteisessa kompaktissa kappaleessa jokainen silmukka voidaan vetää esteettä yhteen pisteeseen, silloin kappaleen pinta on topologisesti homeomorfinen pallopinta. Konjenktuuri otaksuu saman olevan totta kaikkien 3- ja useampiulottuvuuksisten kappaleiden kanssa.

Tapaukset n=0 tai n=1 ovat triviaaleja, n=2 on klassinen, n=3 Perelmanin todistama, n=4 todisti Freedman vuonna 1982 (ja sai todistuksestaan vuoden 1986 Fieldsin mitalin), n=5 todisti Zeeman vuonna 1961, n=6 todisti Stalling vuonna 1962 ja tapaukset n>6 Smale vuonna 1961. Smale onnistui kuitenkin myöhemmin löytämään uuden todistuksen tapauksille n>4.

Millennium-ongelmana[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Poincarén otaksuma kuuluu niin sanottuihin Clay-Instituutin miljoonan dollarin ongelmiin. Instituutti nimittäin lupasi ensimmäisestä oikeasta todistuksesta tai vastaesimerkistä miljoona Yhdysvaltain dollaria. Huhtikuussa 2002 Dunwoody esitti lauseelle lupaavan oloisen todistusyrityksen, josta löytyi kuitenkin virhe. Perelman onnistui kuitenkin todistuksessaan, ja nykyään Perelmanin todistusta pidetään oikeana. Matematiikassa on kuitenkin tapana tutkia huolella ja kauan kuuluisten ongelmien lupaavilta tuntuvia ratkaisuyrityksiä.

Poincarén otaksumasta saattaa tulla ensimmäinen ratkaistu Millennium-ongelma. Loppuvuodesta 2002 Grigori Perelmanin Steklovin matematiikan instituutista huhuttiin löytäneen todistuksen. Hänen otaksuttiin todistaneen myös yleisemmän otaksuman, Thurstonin geometrisointiotaksuman, joka näin ollen viimeistelisi Richard Hamiltonin alulle paneman työn. Vuonna 2003 Perelman teki aiheesta julkaisun ja antoi aiheesta sarjan luentoja Yhdysvalloissa. Useiden vuosien ja matemaatikkojen yhteistyön ansiosta matemaatikot totesivat Perelmanin todistuksen oikeaksi. Kesäkuussa 2006 Asian Journal of Mathematics julkaisi Cao Huaidongin (Lehighin yliopisto, Pennsylvania) ja Zhu Xipingin (Zhongshanin yliopisto, Kiina) paperin, jossa oli täydennetty Perelmanin tuloksia. Julkaisun on varmistanut oikeaksi muun muassa Fieldsin mitalisti Shing-Tung Yau.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Poincarén otaksumassa mietitään, minkä muotoinen on maailmankaikkeus, avaruus. Koska avaruutta on mahdotonta katsoa ulkoa päin, täytyy sen muoto yrittää selvittää sisältä käsin. Esimerkissä matkaan lähetetään raketti, johon on kiinnitetty äärettömän pitkä köysi. Raketin kierrettyä maailmankaikkeuden, se palaa takaisin maahan, jolloin maassa olevilla ihmisellä on köyden kummatkin "päät". Mitä tapahtuisi, jos maassa olevat ihmiset alkaisivat hinata köyttä takaisin maahan? Tulisiko köysi kokonaisuudessaan takaisin maahan, vai jäisikö se kiinni avaruuteen? Köysi juuttuisi kiinni avaruuteen, jos avaruus on donitsin muotoinen. Poincarén konjektuuri sen sijaan olettaa köyden palaavan takaisin maahan ja Perelman todisti näin käyvän. Kun köysi palaa takaisin maahan, kertoo se avaruuden muodon olevan pallomainen. [6]

Australialaisessa tiedeohjelmassa konjenktuuri yksinkertaistetaan näin:

» Mikä on yksinkertaisin mahdollinen muoto missä tahansa ulottuvuudessa?
(What is the simplest possible form in any number of dimensions)
[5]»

Ohjelmassa valotetaan asiaa kuution muotoisella ilmapallolla, joka puhallettuna on pallo. Jos ihmisestä yrittäisi tehdä ilmapallon, hänestä ei tulisikaan palloa, vaan donitsi (suusta alkaa donitsin reikä, joka kulkee ihmisen läpi).[5] Eli pallo on yhdesti yhtenäinen mutta donitsi ei.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Jos monitahokkaassa ei ole aukkoja, se on yhdesti yhtenäinen monitahokas
  2. Tiede.fi
  3. Matematiikasta 1900-luvulla PDF
  4. Sitaatti: Teknillisen korkeakoulun matemaatikko Kirsi Peltonen
  5. a b c http://www.abc.net.au/catalyst/stories/s1860445.htm Catalyst: Poincare’s Conjecture
    Youtube: watch?v=TzMZKiCgEVE
  6. Yle Tiededokumentti: Poincarén konjektuuri

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • O'Shea, Donal: Poincarén konjektuuri: Maailmankaikkeuden muotoa etsimässä. (The Poincaré conjecture: In search of the shape of the universe, 2007.) Suomentanut Juha Pietiläinen. Helsinki: Terra cognita, 2012. ISBN 978-952-5697-28-5.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.