Lineaarinen aliavaruus

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lineaarinen aliavaruus eli vektorialiavaruus on vektoriavaruuden osajoukko, joka on itsekin vektoriavaruus käytetyn laskutoimituksen ja skalaarikunnan suhteen. Sitä kutsutaan hyvin usein vain aliavaruudeksi, jos ei ole vaaraa sekoittaa sitä topologiseen aliavaruuteen. Aliavaruuden dimensio on aina pienempi tai yhtä suuri kuin alkuperäisen avaruuden. Jos aliavaruus on pienempi kuin alkuperäinen avaruus, kutsutaan sitä aidoksi aliavaruudeksi.

Jos V on vektoriavaruus ja W on sen osajoukko, niin W on avaruuden V aliavaruus jos ja vain jos , ja kaikilla .

Siis esimerkiksi -tason (eli --tason) aliavaruudet ovat itse (sen ainoa "epäaito aliavaruus"), jokainen origon läpi kulkeva suora ja "triviaali avaruus" , johon kuuluu pelkkä origo. Vastaavasti avaruuden aliavaruudet ovat , sekä kaikki origon sisältävät tasot ja suorat.

Aliavaruuskriteeri[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aliavaruuskriteeri on lause, joka kertoo milloin jokin vektoriavaruus on toisen vektoriavaruuden aliavaruus. Olkoon jokin vektoriavaruus ja jokin sen osajoukko, joka ei ole tyhjä. Nyt joukko on :n aliavaruus, jos ja vain jos

Kaikilla vektoreilla ja skalaareilla .

(Tavanomaisimpien vektoriavaruuksien skalaarikuntana on reaalilukujen joukko.)

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kivelä, Simo K.: Algebra ja geometria. Helsinki: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
  • Rikkonen, Harri: Matematiikan pitkä peruskurssi I: Vektorialgebra ja analyyttinen geometria. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.