Topologinen aliavaruus

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Topologinen aliavaruus on topologinen avaruuden osajoukko varustettuna alkuperäisen avaruuden topologian indusoimalla topologialla. Aliavaruuden topologiaa sanotaan myös indusoiduksi topologiaksi eli relatiivitopologiaksi.

Määritelmä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Olkoon topologinen avaruus ja S jokin X:n osajoukko. Olkoon ' inkluusio, toisin sanoen sellainen kuvaus, että kaikilla . Tällöin :n indusoima topologia joukossa S on , toisin sanoen tässä topologiassa avoimia joukkoja ovat X:n avointen joukkojen ja S:n leikkaukset. Tätä inkluusion indusoimaa topologiaa sanotaan S:n relatiivitopologiaksi jonka S perii X:stä, ja joukkoa S tällä relatiivitopologialla varustettuna X:n aliavaruudeksi.[1]

Vaihtoehtoisesti osajoukon relatiivitopologia voidaan määritellä karkeimmaksi topologiaksi, jolla inkluusiokuvaus on jatkuva.

Yleisemmin voidaan olettaa, että on mikä tahansa injektio joukosta topologiseen avaruuteen . Tällöin S :n relatiivitopologia määritellään karkeimpana topologiana, jossa on jatkuva. Avoimia joukkoja tässä topologiassa ovat kaikki muotoa olevat joukot, joissa on :n avoin osajoukko. Tällöin on homeomorfinen :ssä olevan kuvajoukkonsa kanssa, kun tämä joukko on varustettu relatiivitopologialla. Tällaista kuvausta sanotaan topologiseksi upotukseksi.

:n aliavaruutta sanotaan avoimeksi aliavaruudeksi, jos injektio on avoin kuvaus, toisin sanoen jos jokaisen :n avoimen joukon kuva tässä kuvauksessa on :n avoin joukko. Vastaavasti sitä sanotaan suljetuksi aliavaruudeksi, jos on suljettu kuvaus.

Huomautuksia merkinnöistä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkinnöissä ei joukon ja topologisen avaruuden välillä aina tehdä selvää eroa, mikä saattaa aiheuttaa sekaannusta, kun määritelmiin ensimmäisen kerran tutustutaan. NIinpä jos on :n osajoukko ja topologinen avaruus, saatetaan merkintöjä ja käyttää sekä joukoista ja käsitettyinä :n osajoukoiksi, että myös avaruuksista ja topologisina avaruuksina edellä kuvatulla tavalla. Niinpä jos esimerkiksi sanotaan, että " on :n avoin aliavaruus", tarkoitetaan itse asiassa, että on :n avoin aliavaruus, toisin sanoen

(i) , eli S on avoin joukko topologisessa avaruudessa , ja
(ii) on varustettu relatiivitopologialla.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavassa tarkoittaa reaalilukujen joukkoa tavanomaisella topologiallaan.

  • Luonnollisten lukujen joukon relatiivitopologia on diskreetti topologia.
  • Rationaalilukujen joukon relatiivitopologia ei ole diskreetti topologia; esimerkiksi pelkän nollan käsittävä joukko {0} ei ole avoin joukko :ssa. Jos a ja b ovat rationaalilukuja, avoin väli (a, b) ja :n leikkaus on myös rationaalilukujen topologiassa avoin ja [a, b] suljettu joukko, mutta jos a ja b ovat irrationaalilukuja, niiden rationaalilukujen joukko, jotka ovat a:n ja b:n välissä, on tässä topologiassa sekä avoin että suljettu joukko.
  • Suljettu väli [0,1] on :n aliavaruutena sekä avoin että suljettu, mutta :n osajoukkona se on vain suljettu.
  • :n aliavaruutena joukko [0, 1] &cup [2, 3] muodostuu kahdesta avoimesta osajoukosta (jotka samalla ovat myös suljettuja), ja sen vuoksi se on epäyhtenäinen avaruus.
  • Käsitellään puoliavointa väliä S = [0, 1) :n aliavaruutena. Tällöin [0, 1/2) on avoin aliavaruudessa S, mutta ei avaruudessa . Samoin [½, 1) on suljettu S:ssä, mutta ei :ssä. Itsensä osajoukkona S on sekä avoin että suljettu, mutta ei :n osajoukkona.

Ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Relatiivitopologialla on seuraava tyypillinen ominaisuus. Olkoon avaruuden aliavaruus ja olkoon inkluusiokuvaus. Silloin jokaiselle topologiselle avaruudelle kuvaus : on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus on jatkuva.

Relatiivitopologian karakteristinen ominaisuus

Tämä ominaisuus on karakteristinen siinä mielessä, että sitä voitaisiin käyttää vaihtoehtoisena määritelmänä relatiivitopologialle :ssa.

Relatiivitopologialla on myös seuraavat ominaisuudet. Seuraavassa oletetaan, että on :n aliavaruus.

  • Jos on jatkuva, sen rajoittuma :ään on jatkuva.[2]
  • Jos on jatkuva, myös on jatkuva.
  • Suljettuja joukkoja avaruudessa ovat :n suljettujen joukkojen ja :n leikkaukset, ja vain ne.
  • Jos on :n aliavaruus, on myös :n aliavaruus ja sellaisena sillä on sama topologia. Toisin sanoen perii :stä saman topologian kuin :stäkin.
  • Olkoon avaruuden avoin aliavaruus (jolloin ). Silloin :n osajoukko on avoin :ssä, jos ja vain jos se on avoin :ssä.
  • Olkoon avaruuden suljettu aliavaruus (jolloin ). Silloin :n osajoukko on suljettu :ssä, jos ja vain jos se on suljettu :ssä.
  • Jos on :n topologian kanta, niin on :n topologian kanta
  • Metrisen avaruuden osajoukon indusoitu topologia, joka saadaan rajoittamalla metriikka tähän osajoukkoon, on sama kuin saman osajoukon relatiivitopologia aliavaruutena.

Topologisten ominaisuuksien säilyminen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos siitä, että topologisella avaruudella on jokin topologinen ominaisuus, seuraa, että sama ominaisuus on myös sen kaikilla aliavaruuksilla, ominaisuutta sanotaan perinnölliseksi.[3] Jos ominaisuus on vain suljetuilla osajoukoilla, sitä sanotaan 'heikosti perinnölliseksi.

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Subset topology

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Nicolas Bourbaki: Elements of Mathematics: General Topology. Addison-Wesley, 1966.
  • Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach Jr.: Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, 1978. ISBN 978-0-486-68735-3.
  • Stephen Willard: General Topology. Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43479-6.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Jussi Väisälä: ”Indusointi ja relatiivitopologia”, Topologia II, s. 16. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  2. Jussi Väisälä: ”Indusointi ja relatiivitopologia”, Topologia II, s. 18. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  3. Jussi Väisälä: ”Metriset ja metristyvät avaruudet”, Topologia II, s. 36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  4. Jussi Väisälä: ”Erotteluaksioomat”, Topologia II, s. 45. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  5. Jussi Väisälä: ”Erotteluaksioomat”, Topologia II, s. 47. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
  6. a b Jussi Väisälä: ”Numeroituvuusaksioomat”, Topologia II, s. 48. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.