Kvaternio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kvaterniot ovat kompleksilukujen nelikomponenttinen laajennus, jossa yhden imaginääriakselin i sijaan on käytössä kolme ei-reaalista akselia i j ja k. Kvaterniot voidaan myös ymmärtää reaaliluvun ja kolmiulotteisen vektorin yhdistelmäksi. Kvaternio on muotoa t + x i + y j + z k, jossa t, x, y ja z ovat reaalilukuja ja i, j ja k ovat peruskvaternioita. Imaginääristen peruskvaternioiden laskusäännöt määrittää kaava

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1\,

Reaali- ja kompleksiluvuista poiketen kvaterniot eivät ole vaihdannaisia kertolaskun suhteen. Ne muodostavat neliulotteisen lukujoukon, jota merkitään keksijänsä Hamiltonin kunniaksi merkillä \mathbb{H}\,. Kvaterniot keksi irlantilainen matemaatikko Sir William Rowan Hamilton[1] vuonna 1843. Myöhemmin kehitetyt vektorit ovat havainnollisempina jossain määrin syrjäyttäneet kvaterniot ja jotkut matematiikan historioitsijat pitävätkin niitä lähinnä historiallisesti merkittävinä huolimatta siitä, että niillä on monia sovelluksia eri aloilla.

Historia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Toisin kuin aikaisemmat lukualueen laajennukset, kvaternioita ei kehitetty tarpeesta saattaa minkääntyyppistä yhtälöä ratkeavaksi, vaan tavoitteena oli laajentaa lukualuetta kahdesta ulottuvuudesta kolmeen. Kvaterniot lopulta keksinyt matemaatikko Sir William Rowan Hamilton oli esittänyt kompleksiluvut järjestettyinä lukupareina, josta oli käsitteellisesti lyhyt matka järjestettyihin lukukolmikoihin. Hamilton etsi kompleksilukujen yleistystä, jonka avulla voitaisiin määritellä kertolasku, jolla olisi yhteys kolmiulotteiseen kiertoon samaan tapaan kuin tavallisten kompleksilukujen kertolaskulla on yhteys kiertoon kompleksitasolla. Kolmikoilla tämä ei kuitenkaan onnistu, eikä Hamiltonin onnistunut määritellä luvuille a + b i + c j kertolaskua, joka vastaisi vektorin kiertoa, ja voidaankin osoittaa että tämä ei ole edes mahdollista.

Ratkaisu löytyi reaalilukunelikoista, kvaternioista. Hamiltonin itsensä mukaan hän keksi kvaternioiden ominaisuudet määrittävän peruskaavan i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 yhtäkkisesti ollessaan vaimonsa kanssa kävelyllä. Tarinan (erään version) mukaan hän kaiversi kaavan saman tien läheisen Broughamin sillan erääseen kiveen. Hamiltonin määritelmän mukaan kvaternioiden kertolasku ei ollut vaihdannainen, esimerkiksi ijji, vaan ij = -ji. Tämä oli aikanaan radikaalia eikä kvaternioita tämän vuoksi aina hyväksytty kunnolla. Ne olivat ensimmäisiä askelia kohti "algebran vapautumista", eli järjestelmien, joissa tavalliset laskulait – liitäntä-, vaihdanta-, ja osittelulaki – eivät ole voimassa, tutkimuksen alkamista. Geometriassa samankaltainen "vapautuminen" oli tapahtunut epäeuklidisten geometrioiden myötä.

Kvaterniot eivät kuitenkaan koskaan saavuttaneet kovin suurta suosiota.lähde? 1900-luvun puoliväliin tultaessa muun muassa Oliver Heavisiden ja Willard Gibbsin kehittämät vektorialgebra ja -analyysi olivat syrjäyttäneet kvaterniot lähes kokonaan, huolimatta siitä että kvaternioiden merkintätapa oli Hamiltonin seuraajien mielestä vektoreihin verrattuna ylivertainen. Kvaterniot ovat kuitenkin vektoreita vaikeammin yleistettävissä useampaan kuin kolmeen ulottuvuuteen.

Nykyään kvaternioita käytetään tietokonegrafiikassa ja siihen liittyvässä geometrisessa tutkimuksessa kiertojen ja esineiden suunnan esittämiseen, sillä ne vaativat muita esitystapoja kuten matriiseja vähemmän tilaa ja niiden laskutoimitukset ovat tehokkaampia.

Merkintätapa ja peruslaskutoimitukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvaternio on järjestetty reaalilukunelikko (t, x, y, z)\,. Peruskvaterniota (1,0,0,0)\, vastaa reaaliluku 1, kun taas peruskvaternioille (0,1,0,0)\,, (0,0,1,0)\, ja (0,0,0,1)\, on annettu symbolit i\,, j\, ja k\,.

Skalaarilla kertominen[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvaternion kertominen skalaarilla eli reaaliluvulla on vaihdannainen operaatio ja vastaa vektorin kertomista skalaarilla:

s(t, x, y, z) = (t, x, y, z)s = (st, sx, sy, sz),\,

Yhteen- ja vähennyslasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvaternioiden yhteen- ja vähennyslaskut ovat analogisia vektorien yhteen- ja vähennyslaskujen kanssa:

(t_1, x_1, y_1, z_1)+(t_2, x_2, y_2, z_2) = (t_1+t_2,x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2)\,
(t_1, x_1, y_1, z_1)-(t_2, x_2, y_2, z_2) = (t_1-t_2,x_1-x_2,y_1-y_2,z_1-z_2)\,

Yhteenlasku on vaihdannainen. Kvaternion vastaluku on

Yllä olevia laskusääntöjä käyttäen voidaan kvaterniot esittää peruskvaternioiden summana:

(t, x, y, z)\,  = (t, 0, 0, 0)+(0, x, 0, 0)+(0, 0, y, 0)+(0, 0, 0, z)\,
 = t(1, 0, 0, 0)+x(0, 1, 0, 0)+y(0, 0, 1, 0)+z(0, 0, 0, 1) = t+xi+yj+zk\,

Kertolasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvaternioiden kertolasku ei ole vaihdannainen, mutta olettamalla että se on assosiatiivinen (kuten se onkin), voidaan Hamiltonin kaavasta

i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1,\,

johtaa seuraava peruskvaternioiden kertotaulu:

\cdot\, 1\, i\, j\, k\,
1\, 1\, i\, j\, k\,
i\, i\, -1\, k\, -j\,
j\, j\, -k\, -1\, i\,
k\, k\, j\, -i\, -1\,

Mielivaltaisten kvaternioiden q_1 ja q_2 kertolasku voidaan laskea yllä olevilla säännöillä:

q_1 q_2\, = (t_1 + x_1 i + y_1 j + z_1 k)(t_2 + x_2 i + y_2 j + z_2 k)\,
 = (t_1 t_2 - x_1 x_2 - y_1 y_2 - z_1 z_2) + (t_1 x_2 + x_1 t_2 + y_1 z_2 - z_1 y_2)i + (t_1 y_2 - x_1 z_2 + y_1 t_2 + z_1 x_2)j + (t_1 z_2 + x_1 y_2 - y_1 x_2 + z_1 t_2)k \,

Jakolasku[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvaternioiden jakolaskun määrittelemiseksi määritellään ensin kvaternion q = t+xi+yj+zk\, konjugaatti eli liittoluku \bar{q}=t-xi-yj-zk ja huomataan, että kun kvaternio kerrotaan liittoluvullaan, saadaan kvaternion modulin eli itseisarvon |q| = \sqrt{t^2+x^2+y^2+z^2} neliö:

q \bar{q} = (t+xi+yj+zk)(t-xi-yj-zk) = t^2+x^2+y^2+z^2 = |q|^2

Kvaternioiden jakolasku voidaan muuttaa kertolaskuksi laventamalla nimittäjän liittoluvulla:

{q_1 \over q_2} = {q_1 \bar{q_2} \over q_2 \bar{q_2}} = {q_1 \bar{q_2} \over |q_2|^2} = {(t_1+x_1i+y_1j+z_1k)(t_2-x_2i-y_2j-z_2k) \over t_2^2+x_2^2+y_2^2+z_2^2}

Kvaternion argumentti ja merkkifunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kvaternion q=t+xi+yj+zk\, argumentti \arg{q} on kvaternion ja yksikköskalaarin 1 välinen kulma ja se lasketaan

\arg{q} =\arccos{{t \over |q|}}.

Kvaternion merkkifunktio \sgn{q}\, palauttaa kvaternion suuntaisen yksikkökvaternion ja se lasketaan

\sgn{q} ={q \over |q|}.

Vektoriesitys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kun rinnastetaan kvaternio (1,0,0,0) reaalilukuun 1 ja peruskvaterniot i, j, k suorakulmaisen kolmiulotteisen koordinaatiston yksikkövektoreihin, voidaan kvaterniot esittää skalaarin ja vektorin summana:

q=(t,x,y,z)=t+(xi+yj+zk)=t+(x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k})=t+\mathbf{v}=(t,\mathbf{v})

Kvaterniota jonka skalaariosa t = 0, kutsutaan puhtaaksi kvaternioksi, vektorikvaternioksi tai yksinkertaisesti vektoriksi. Vastaavasti kvaternio, jonka vektoriosa on nolla, on skalaarikvaternio tai pelkkä skalaari. Kvaterniotulon ja vektoreille määriteltyjen piste- ja ristitulon välillä on yhteys

q p = (t+\mathbf{v})(s+\mathbf{u}) = t s + s\mathbf{v} + t\mathbf{u} + \mathbf{v} \times \mathbf{u} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{u},

jossa

q = (t, \mathbf{v}) ja p = (s, \mathbf{u}).

Kun t=s=0\,, eli kun kvaterniot q ja p ovat vektoreita, sieventyy kvaterniotulon lauseke muotoon

\mathbf{vu} = \mathbf{v} \times \mathbf{u} - \mathbf{v} \cdot \mathbf{u},

josta saadaan risti- ja pistetulolle identiteetit

\mathbf{v} \times \mathbf{u} = {1 \over 2}(\mathbf{vu}-\mathbf{uv})    ja    \mathbf{v} \cdot \mathbf{u} = -{1 \over 2}(\mathbf{vu}+\mathbf{uv})

Kvaterniomuuttujaisia funktioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Seuraavat tavalliset funktiot voidaan määritellä kvaterniomuuttujille q=(t,\mathbf{v}) ja p=(s,\mathbf{u}).

Eksponentiaali- ja logaritmifunktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Eksponentti- ja logaritmifunktiot voidaan määritellä kvaternioille, sillä kvaterniot muodostavat jakoalgebran.

  • Luonnollinen eksponentti: e^q = e^t (\cos{|\mathbf{v}|} + \sgn{\mathbf{v}}\sin{|\mathbf{v}|})
  • Luonnollinen logaritmi: \ln{q} = \ln{|q|} + \sgn{\mathbf{v}}\arg{q}
  • Potenssi: p^q = e^{\ln{p}q}\,

Trigonometriset funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Sini: \sin{q} = \sin{t}\cosh{|\mathbf{v}|} + \cos{t}\sgn{\mathbf{v}}\sinh{|\mathbf{v}|}
  • Kosini: \cos{q} = \cos{t}\cosh{|\mathbf{v}|} - \sin{t}\sgn{\mathbf{v}}\sinh{|\mathbf{v}|}
  • Tangentti: \tan{q} = \frac{\sin{q}}{\cos{q}}

Hyperboliset funktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Hyperbolinen sini: \sinh{q} = \sinh{t}\cos{|\mathbf{v}|} + \cosh{t}\sgn{|\mathbf{v}|}\sin{|\mathbf{v}|}
  • Hyperbolinen kosini: \cosh{q} = \cosh{t}\cos{|\mathbf{v}|} + \sinh{t}\sgn{|\mathbf{v}|}\sin{|\mathbf{v}|}
  • Hyperbolinen tangentti: \tanh{q} = \frac{\sinh{q}}{\cosh{q}}

Hyperboliset käänteisfunktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Hyperbolinen arkussini: \operatorname{arcsinh}\,q = \ln(q + \sqrt{q^2 + 1})
  • Hyperbolinen arkuskosini: \operatorname{arccosh}\,q = \ln(q + \sqrt{q^2 - 1})
  • Hyperbolinen arkustangentti: \operatorname{arctanh}\,q = \frac{\ln(1+q)-\ln(1-q)}{2}

Trigonometriset käänteisfunktiot[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Nämä luetellaan viimeisinä koska määrittelyssä tarvitaan kvaternioarvoisia hyperbolisia käänteisfunktioita.

  • Arkussini: \arcsin{q} = -\sgn{\mathbf{v}}\,\operatorname{arcsinh}\,(q \sgn{\mathbf{v}})
  • Arkuskosini: \arccos{q} = -\sgn{\mathbf{v}}\,\operatorname{arccosh}\,q
  • Arkustangentti: \arctan{q} = -\sgn{\mathbf{v}}\,\operatorname{arctanh}\,(q \sgn{\mathbf{v}})



Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Onko Angry Birdsin suosion selitys i² = j² = k² = ijk = -1? Taloussanomat. 2.1.2012. Viitattu 2.1.2012.