Algebrallinen luku

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua , joka on kokonaislukukertoimisen polynomin nollakohta eli toteuttaa yhtälön . Polynomin

aste tulee olla positiivinen, jolloin vähintään yksi kertoimista poikkeaa nollasta. Jos vain poikkeaa nollasta, on kyseessä vakiofunktio, joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen.[1]

Polynomia, jonka korkeimman asteen termin kerroin on ja muut kertoimet ovat kokonaislukuja, kutsutaan pääpolynomiksi. Pääpolynomin nollakohtaa kutsutaan algebralliseksi kokonaisluvuksi tai kokonaiseksi algebralliseksi luvuksi.[2][3]

Määritelmästä seuraa algebran peruslauseen mukaisesti, että polynomin nollakohdan avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi . Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan minimaalipolynomiksi. Minimaalipolynomin aste on samalla algebrallisen luvun aste.[3][4]

Voidaan todistaa, että algebrallisen luvun minimaalipolynomi on yksikäsitteinen ja että minimaalipolynomi on aina tekijänä muissa luvun polynomeissa. Lisäksi minimipolynomi on aina jaoton. Samaan polynomiin liittyvät algebralliset luvut ovat toistensa konjugaatteja.[5]

Johdanto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkintä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisten lukujen joukkoa merkitään joskus tai . Niitä kompleksilukuja, jotka eivät ole algebrallisia lukuja eli , kutsutaan transkendenttiluvuiksi.[1]

Algebrallinen yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisen yhtälön juuret ovat algebrallisisia lukuja. Algebrallinen yhtälö muodostetaan laskettaessa polynomin nollakohtia

eli

missä Joskaus yhtälön ensimmäisen termin kerroin jaetaan molemmilta puolista pois, jolloin saadaan pääpolynomin yhtälö

ja jonka kertoimet ovat rationaalilukuja Koska yhtälön molemmat puolet voi kertoa luvulla , voidaan algebrallisen yhtälön kertoimiksi sallia myös rationaaliluvut.

Esimerkkejä algebrallisista yhtälöistä ja -luvuista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luvun voi todeta algebralliseksi, jos keksii sille rationaalilukukertoimisen polynomiyhtälön, jonka juuri luku on. Luvun asteen voi päätellä retusoimalla polynomin tekijöitä. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä lukuisasta soveltamiskentästä.

Ensimmäisen asteen luvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos polynomi kerroin , saadaan pääpolynomi. Tämän polynomin algebralliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden aste on 1. Tällöin voidaan merkitä . Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia lukuja, jotka toteuttavat 1. asteen polynomiyhtälön

Silloin on myös .[3]

Toisen asteen luvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erilaisia esimerkkejä:

  • Kokonaislukujen juuriluvut ovat pääpolynomin nollakohtina toisen asteen algebrallisia kokonaislukuja, jotka ovat lisäksi toistensa konjugaatteja.
  • Irrationaalinen on toista astetta oleva algebrallinen luku, sillä se on algebrallisen yhtälön juuri.
  • Kokonaislukukertoimisen toisen asteen polynomiyhtälön kaikki ratkaisut ovat algebralliset lukuja. Joukossa on myös paljon erilaisia irrationaaliratkaisuja.
  • Kultainen leikkaus on luku

joka on polynomin nollakohta.[1]

  • Imaginaariyksikkö on toista astetta oleva algebrallinen luku, sillä se toteuttaa yhtälön .

Muita algebrallisia lukuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kaikki luvut, jotka saadaan polynomin kertoimista peruslaskutoimituksilla ja n-asteisella juuretuksella, ovat algebrallisia lukuja.
  • Trigonometriset funktiot, joiden argumenttina olevalla :llä on rationaalikerroin, ovat algebrallisia lukuja. Esimerkiksi jokainen algebrallinen luku , ja on minimaalipolynomin nollakohta. Tämä tekee luvuista toistensa kolmannen asteen konjugaatteja.
  • Myös luvut , , ja ovat minimaali- ja pääpolynomin nollakohtia ja ovat toistensa neljännen asteen konjugaatteja ja algebrallisia kokonaislukuja.

Algebrallisten lukujen yleisiä ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebralliset luvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Voidaan myös todistaa, että kompleksiluku on toisen asteen algebrallinen luku, jos luvut ja ovat algebrallisia. Silloin on myös liittoluku algebrallinen. Näitä lukuja kutsutaan Gaussin kokonaisluvuiksi.[1][3]

Tiheys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisten lukujen joukko on tiheä, jolloin kahden mielivaltaisen algebrallisen luvun välistä löytyy aina kolmas algebrallinen luku riippumatta kuinka lähellä ensin mainitut kaksi lukua olivat.[6]

Algebrallisten lukujen mahtavuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisten luvut ovat numeroituvasti ääretön joukko, jonka mahtavuus on siis [7]. Transkendenttisten lukujen mahtavuus on kuitenkin ylinumeroituvasti ääretön.[6][8]

Aiheeta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suom. Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.
  • Majaranta, Leo: Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista. (Pro Gradu-tutkielma). Tampere: Tampereen yliopisto, 2011. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 29.5.2012).
  1. a b c d Weisstein, Eric W.: Algebraic Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Algebraic Integer (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b c d Majaranta, Leo: Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista, s. 7 - 9
  4. Barile, Margherita & Rowland, Todd & Weisstein, Eric W.: Algebraic Number Minimal Polynomial (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Majaranta, Leo, s. 13 - 16
  6. a b Majaranta, Leo, s. 12 - 13
  7. Weisstein, Eric W.: Aleph-0 (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Schwartz, Rich: Countable and Uncountable Sets (pdf) (luentomoniste) 2007. Providence: Brown University. (englanniksi)