Algebrallinen luku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua a, joka on kokonaislukukertoimisen polynomin P(x) nollakohta eli toteuttaa yhtälön P(a) = 0. Polynomin

P(x)=a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0

aste tulee olla positiivinen, jolloin vähintään yksi kertoimista a_k\in \Z, k=1,\dotsc,n poikkeaa nollasta. Jos vain a_0 poikkeaa nollasta, on kyseessä vakiofunktio, joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen. [1]

Polynomia, jonka korkeimman asteen termin kerroin on 1 ja muut kertoimet ovat kokonaislukuja, kutsutaan pääpolynomiksi. Pääpolynomin nollakohtaa kutsutaan algebralliseksi kokonaisluvuksi tai kokonaiseksi algebralliseksi luvuksi. [2][3]

Määritelmästä seuraa algebran peruslauseen mukaisesti, että polynomin nollakohdan a \in \Z avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi x - a. Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan minimaalipolynomiksi. Minimaalipolynomin aste on samalla algebrallisen luvun aste. [3][4]

Voidaan todistaa, että algebrallisen luvun minimaalipolynomi on yksikäsitteinen ja että minimaalipolynomi on aina tekijänä muissa luvun polynomeissa. Lisäksi minimipolynomi on aina jaoton. Samaan polynomiin liittyvät algebralliset luvut ovat toistensa konjugaatteja. [5]

Johdanto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkintä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisten lukujen joukkoa merkitään joskus \mathbb{A} tai \overline{\Q}. Niitä reaalilukuja, jotka eivät ole algebrallisia lukuja eli \R \smallsetminus \mathbb{A}, kutsutaan transkendenttiluvuiksi. [1]

Algebrallinen yhtälö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisen yhtälön juuret ovat algebrallisisia lukuja. Algebrallinen yhtälö muodostetaan laskettaessa polynomin nollakohtia

P(x) = 0

eli

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0 = 0,

missä a_k\in \Z, k=0,\dotsc,n. Joskaus yhtälön ensimmäisen termin kerroin a_0 (\ne 0) jaetaan molemmilta puolista pois, jolloin saadaan pääpolynomin yhtälö

x^n + b_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + b_1 x + b_0 = 0,

ja jonka kertoimet ovat rationaalilukuja b_k = \frac{a_k}{a_n} \in \Z, k=0,\dotsc,n-1. Koska yhtälön molemmat puolet voi kertoa luvulla c \in \Z ( \ne 0), voidaan algebrallisen yhtälön kertoimiksi sallia myös rationaaliluvut.

Esimerkkejä algebrallisista yhtälöistä ja -luvuista[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Luvun voi todeta algebralliseksi, jos keksii sille rationaalilukukertoimisen polynomiyhtälön, jonka juuri luku on. Luvun asteen voi päätellä retusoimalla polynomin tekijöitä. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä lukuisasta soveltamiskentästä.

Ensimmäisen asteen luvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jos polynomi P(x)= ax - b kerroin a = 1, saadaan pääpolynomi. Tämän polynomin algebralliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden aste on 1. Tällöin voidaan merkitä  \Z \subset \mathbb{A}. Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia lukuja, jotka toteuttavat 1. asteen polynomiyhtälön

ax - b =0 \Leftrightarrow x = \frac {b}{a}.

Silloin on myös  \Q \subset \mathbb{A}. [3]

Toisen asteen luvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Erilaisia esimerkkejä:

  • Kokonaislukujen juuriluvut \sqrt{c} \text{  ja } -\sqrt{c} ovat pääpolynomin P(x)= x^2-c nollakohtina toisen asteen algebrallisia kokonaislukuja, jotka ovat lisäksi toistensa konjugaatteja.
  • Irrationaalinen \frac{1}{\sqrt{2}} on toista astetta oleva algebrallinen luku, sillä se on algebrallisen yhtälön 2x^2-1=0 juuri.
  • Kokonaislukukertoimisen toisen asteen polynomiyhtälön ax^2 + bx + c kaikki ratkaisut ovat algebralliset lukuja. Joukossa on myös paljon erilaisia irrationaaliratkaisuja.
  • Kultainen leikkaus on luku
\phi=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})=1{,}61803\dots,

joka on polynomin x^2+x-1=0\, nollakohta. [1]

  • Imaginaariyksikkö i on toista astetta oleva algebrallinen luku, sillä se toteuttaa yhtälön x^2+1=0.

Muita algebrallisia lukuja[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Kaikki luvut, jotka saadaan polynomin kertoimista peruslaskutoimituksilla ja n-asteisella juuretuksella, ovat algebrallisia lukuja.
  • Trigonometriset funktiot, joiden argumenttina olevalla \pi:llä on rationaalikerroin, ovat algebrallisia lukuja. Esimerkiksi jokainen algebrallinen luku \cos (\pi/7), \cos (3\pi/7) ja \cos (5\pi/7) on minimaalipolynomin 8x^3 - 4x^2 - 4x + 1 = 0 nollakohta. Tämä tekee luvuista toistensa kolmannen asteen konjugaatteja.
  • Myös luvut \tan (3\pi/16), \tan (7\pi/16), \tan (11\pi/16) ja \tan (15\pi/16) ovat minimaali- ja pääpolynomin x^4 - 4x^3 - 6x^2 + 4x + 1 nollakohtia ja ovat toistensa neljännen asteen konjugaatteja ja algebrallisia kokonaislukuja.

Algebrallisten lukujen yleisiä ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebralliset luvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Voidaan myös todistaa, että kompleksiluku a + bi on toisen asteen algebrallinen luku, jos luvut a ja b ovat algebrallisia. Silloin on myös liittoluku a - bi algebrallinen. Näitä lukuja kutsutaan Gaussin kokonaisluvuiksi. [1][3]

Tiheys[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisten lukujen joukko on tiheä, jolloin kahden mielivaltaisen algebrallisen luvun välistä löytyy aina kolmas algebrallinen luku riippumatta kuinka lähellä ensinmainitut kaksi lukua olivat. [6]

Algebrallisten lukujen mahtavuus[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Algebrallisten luvut ovat numeroituvasti ääretön joukko, jonka mahtavuus on siis \aleph_0 [7]. Transkendenttisten lukujen mahtavuus on kuitenkin ylinumeroituvasti ääretön. [6][8]

Aiheeta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Fuchs, Walter R.: Matematiikka. Suom. Mattila, Pekka. Länsi-Saksa: Kirjayhtymä, 1968.
  • Majaranta, Leo: Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista. (Pro Gradu-tutkielma). Tampere: Tampereen yliopisto, 2011. Teoksen verkkoversio (pdf) (viitattu 29.5.2012).
  1. a b c d Weisstein, Eric W.: Algebraic Number (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Algebraic Integer (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b c d Majaranta, Leo: Algebrallisista ja transkendenttisista luvuista, s. 7 - 9
  4. Barile, Margherita & Rowland, Todd & Weisstein, Eric W.: Algebraic Number Minimal Polynomial (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  5. Majaranta, Leo, s. 13 - 16
  6. a b Majaranta, Leo, s. 12 - 13
  7. Weisstein, Eric W.: Aleph-0 (Math World - A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  8. Schwartz, Rich: Countable and Uncountable Sets (pdf) (luentomoniste) 2007. Providence: Brown University. (englanniksi)