Homomorfialause

Kohteesta Wikipedia
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Homomorfialause eli homomorfismien peruslause on hyvin yleinen algebrallisten systeemien rakennelause. Se takaa, että homomorfismin kuva on isomorfinen :n ytimen sivuluokkien muodostaman rakenteen kanssa.

Homomorfialauseesta on olemassa oma versionsa mm. ryhmille, renkaille ja hiloille. Kuntien tapauksessa homomorfialause on triviaali, sillä jokainen kuntahomomorfismi on injektio ja indusoi siten isomorfismin.

Ryhmien homomorfialause[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ryhmien tapauksessa homomorfialause kuuluu seuraavasti: Olkoot ja ryhmiä, homomorfismi näiden välillä ja :n ydin. Tällöin tekijäryhmä on isomorfinen :n kuvan kanssa. Tämä isomorfismi on kuvaus , .

Lauseen todistuksessa tutkitaan ensin, että on hyvinmääritelty ja osoitetaan se sitten isomorfismiksi toteamalla se homomorfismiksi, injektioksi ja surjektioksi. Osoitetaan nyt hyvinmääritellyksi. Jos :n ja :n määräämät sivuluokat ovat samat, niin eli , missä on ytimen alkio. Nyt , eli on hyvinmääritelty. Näytetään sitten, että on isomorfismi. on homomorfismi, sillä kun :n ja :n määräämät sivuluokat kuuluvat tekijäryhmään , niin . Homomorfismi ryhmien välillä on injektio silloin ja vain silloin, kun . Jos , niin eli . Silloin ryhmän ykkösalkio eli on injektio. on surjektiivinen, sillä kun käy läpi koko :n niin käy läpi koko :n kuvan. Siis on isomorfismi.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Häsä, Jokke; Rämö, Johanna: Johdatus abstraktiin algebraan. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.