Heisenbergin kuva

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Heisenbergin kuva on kvanttimekaniikan formalismin yksi muoto. Siinä systeemin tilaa kuvaavat tilavektorit eli aaltofunktiot ovat aikariippumattomia, ja observaabeleita kuvaavat lineaarioperaattorit riippuvat ajasta.

Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään suljetun systeemin tilaa merkinnällä ja observaabelia kuvaavaa operaattoria merkinnällä . Alaindeksi H viittaa siis Heisenbergin kuvaan. Jälkimmäinen siis kuvaa tilan joksikin toiseksi (tai erityisesti identiteettioperaattorin tapauksessa samaksi) saman funktioavaruuden tilaksi . Toisin sanoen

Koska operaattori riippuu ajasta, myös se funktio johon kuvaus tapahtui riippuu ajanhetkestä . Itse funktiot ovat kuitenkin määritelmän mukaan aikariippumattomia.

Merkitään tilan konjugaattitilaa merkinnällä . Tällöin systeemin ollessa puhtaassa tilassa observaabelin odotusarvo saadaan sisätulosta

missä on ja sisätulo.

Operaattori toteuttaa Heisenbergin liikeyhtälön

missä on Diracin vakio, on systeemin Hamiltonin operaattori ja on operaattorin ja Hamiltonin operaattorin kommutaattori. Yhtälön viimeinen termi ottaa huomioon observaabelin määritelmän mahdollisen eksplisiittisen aikariippuvuuden.

Muunnos Schrödingerin kuvan ja Heisenbergin kuvan välillä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Heisenbergin kuva on yhtäpitävä Schrödingerin kuvan kanssa. Tämän voi todistaa seuraavasti. Schrödingerin kuvassa aaltofunktiot riippuvat ajasta Schrödingerin yhtälön mukaan. Tämä voidaan aina ratkaista formaalisti muotoon

Tässä alaindeksi S viittaa Schrödingerin kuvaan. Observaabelin odotusarvolle pätee tällöin tilassa

Nyt siis

Vastaava todistus voidaan tehdä sekoitetulle tilalle käyttäen tiheysmatriisia. Heisenbergin kuvassa tiheysmatriisi on siis aikariippumaton.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]