Heisenbergin kuva

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Heisenbergin kuva on kvanttimekaniikan formalismin yksi muoto. Siinä systeemin tilaa kuvaavat tilavektorit eli aaltofunktiot ovat aikariippumattomia, ja observaabeleita kuvaavat lineaarioperaattorit riippuvat ajasta.

Käyttö[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Merkitään suljetun systeemin tilaa merkinnällä |\psi\rangle ja observaabelia O kuvaavaa operaattoria merkinnällä \hat{O}_H(t). Alaindeksi H viittaa siis Heisenbergin kuvaan. Jälkimmäinen siis kuvaa tilan |\psi\rangle joksikin toiseksi (tai erityisesti identiteettioperaattorin tapauksessa samaksi) saman funktioavaruuden tilaksi |\psi'\rangle. Toisin sanoen


\hat{O}_H(t)|\psi\rangle = |\psi'\rangle.

Koska operaattori riippuu ajasta, myös se funktio johon kuvaus tapahtui riippuu ajanhetkestä t. Itse funktiot ovat kuitenkin määritelmän mukaan aikariippumattomia.

Merkitään tilan |\psi\rangle konjugaattitilaa merkinnällä \langle \psi|. Tällöin systeemin ollessa puhtaassa tilassa |\psi\rangle observaabelin O odotusarvo \langle O \rangle saadaan sisätulosta


\langle \psi | \hat{O}_H(t)|\psi\rangle = \langle \psi|\psi'\rangle,

missä \langle \psi|\psi' \rangle on \langle \psi| ja |\psi'\rangle sisätulo.

Operaattori \hat{O}_H toteuttaa Heisenbergin liikeyhtälön


\frac{d}{dt} \hat{O}_H(t) = (i\hbar)^{-1} [\hat{O}_H,H]+\left(\frac{\partial \hat{O}_H}{\partial t}\right)_{ulk.},

missä \hbar on Diracin vakio, H on systeemin Hamiltonin operaattori ja [\hat{O}_H,H] on operaattorin \hat{O} ja Hamiltonin operaattorin kommutaattori. Yhtälön viimeinen termi ottaa huomioon observaabelin määritelmän mahdollisen eksplisiittisen aikariippuvuuden.

Muunnos Schrödingerin kuvan ja Heisenbergin kuvan välillä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Heisenbergin kuva on yhtäpitävä Schrödingerin kuvan kanssa. Tämän voi todistaa seuraavasti. Schrödingerin kuvassa aaltofunktiot riippuvat ajasta Schrödingerin yhtälön mukaan. Tämä voidaan aina ratkaista formaalisti muotoon


|\psi(t)\rangle_S = e^{-iHt/\hbar}|\psi(0)\rangle.

Tässä alaindeksi S viittaa Schrödingerin kuvaan. Observaabelin O odotusarvolle pätee tällöin tilassa \psi(t)


\langle O \rangle = \langle \psi(t) |_S \hat{O} |\psi(t) \rangle_S = \langle \psi(0) | e^{i H t/\hbar} \hat{O} e^{-iH t/\hbar} |\psi(0)\rangle \equiv \langle \psi(0) | \hat{O}_H(t) |\psi(0)\rangle.

Nyt siis


\frac{d}{dt} \hat{O}_H(t)=\frac{i}{\hbar} H \hat{O}_H(t) - \frac{i}{\hbar} \hat{O}_H(t) H + \left(\frac{\partial \hat{O}_H(t)}{\partial t}\right)_{ulk.} = (i\hbar)^{-1} [\hat{O}_H(t),H] + \left(\frac{\partial \hat{O}_H}{\partial t}\right)_{ulk.}.

Vastaava todistus voidaan tehdä sekoitetulle tilalle käyttäen tiheysmatriisia. Heisenbergin kuvassa tiheysmatriisi on siis aikariippumaton.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]