Aaltofunktio

Wikipediasta
Siirry navigaatioon Siirry hakuun

Aaltofunktio on kvanttimekaniikan tapa kuvata hiukkasta. Aaltofunktio on yleisesti kompleksinen suure, jonka itseisarvon neliö, todennäköisyysamplitudi (tarkasti ottaen tulo kompleksikonjugaattinsa kanssa ) kuvaa hiukkasen esiintymisen todennäköisyystiheyttä tiettynä hetkenä tietyssä pisteessä: (tässä ei ole ajan funktio).

Klassinen hiukkanen vs. kvanttimekaniikan aaltofunktio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Klassisen fysiikan mukaan hiukkanen on paikallistunut tiettyyn pisteeseen tietyllä hetkellä, ja sen paikka ja nopeus voidaan tietää äärettömän tarkasti samanaikaisesti. Kvanttimekaniikassa hiukkanen ei kuitenkaan esiinny paikallistuneena tiettyyn pisteeseen, vaan sen paikan ja liikemäärän määrityksessä on aina tietty epävarmuus (ks. Heisenbergin epätarkkuusperiaate). Tämä ajattelutapa on seurausta kokeista, joissa hiukkaset ilmentävät itseään aaltoina (Thompsonin elektronidiffraktio, esimerkiksi).

Tässä , ja .

Tulosta voidaan havainnollistaa seuraavan yksiulotteisen esimerkin avulla. Tiedetään, että hiukkanen on paikallistunut avaruudessa ja tarvitaan myös sitä kuvaava aaltofunktio noudattamaan edellä mainittua todennäköisyystiheysominaisuutta. Kvanttimekaanisesti ajatellaan siis paikallistunutta aaltofunktiota hiukkasena. Lähdetään liikkeelle täysin paikallistumattomasta aaltofunktiosta, eli jonka paikkaa ei tiedetä lainkaan: kosiniaallosta , jossa . Kosiniaalto on muodoltaan samankaltainen kuin siniaalto, ja sellaisenaan se on määritelty negatiivisesta äärettömästä positiiviseen äärettömään. Kun laitetaan päällekkäin useampia kosiniaaltoja (eli rakennetaan :n Fourier-sarjalla), joiden aaltoluvut k eroavat hieman toisistaan, jossain kohdissa aaltofunktiot kumoavat toisensa, kun taas jossain kohdissa ne vahvistavat toisiaan. Valitsemalla k:t sopivasti voidaan luoda lokalisoitunut aaltopaketti. Tässä käytetään binomijakaumaa kertoimille, jotta saadaan suurin piirtein Gaussin käyrän rajaama paketti (ks. kuva): (normalisoi jakamalla ). Mitä paikallistuneempi paketti halutaan, eli mitä tarkemmin halutaan tietää sen paikka, sitä suurempi jakauma tarvitaan :ssa. Täten paikallistunut aaltofunktio hiukkaselle tarvitsee jakauman liikemäärässä, koska . Täten mitä pienemmäksi epävarmuus paikassa vähenee, sitä suuremmaksi epävarmuus liikemäärässä kasvaa.

Aaltofunktion sovellukset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aaltofunktioille pätee Schrödingerin aaltoyhtälö, jonka avulla voimme laskea aaltofunktion muodon esimerkiksi vetyatomin 1s-elektronille. Kvanttimekaanisesti yksielektronisen vetyatomin 1s-elektronin aaltofunktio on pallomainen, eli elektroni ei kierrä ydintä millään ellipsiradalla vaan sen aaltofunktio on levinnyt pallomaiseksi, pienentyen mitä kauempana ytimestä elektronia tarkastelemme.

Koska todennäköisyys sille, että hiukkanen ylipäänsä on jossain, on yksi, on toteuduttava normittumisehto [1] . Niin sanotuissa sirontatiloissa tällainen normittaminen ei kuitenkaan yleensä onnistu. Aaltofunktion ja sen derivaatan on oltava jatkuvia. Jos potentiaali on epäjatkuva, voi aaltofunktion derivaatassa esiintyä epäjatkuvuus.

Aaltofunktiolla voimme myös selittää havainnon, että yksittäiset fotonit noudattavat tuttua diffraktiokuviota Youngin kaksoisrakokokeessa. Klassisesti tämä on mahdotonta, koska fotonihiukkasen on mentävä jommastakummasta raosta eikä se voi diffraktoida toisen fotonin kanssa. Kuitenkin fotonit ovat ”tietoisia” toisestakin raosta ja luovat diffraktiokuvion. Kvanttimekaniikassa ongelmaa ei ole, sillä fotonille voidaan löytää aaltofunktioratkaisuja, joiden mukaan se ”kulkee” molempien rakojen läpi samanaikaisesti diffraktoiden itsensä kanssa.

Aaltofunktiot klassisessa aaltomekaniikassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aaltofunktion käsitettä voidaan hyödyntää myös klassisille aalloille. Tällöin aaltofunktio kuvaa väliaineen hiukkasjoukon siirtymiä (aallon muotoa ja kulkusuuntaa) tietyllä hetkellä[2]. Tarkastellaan esimerkkinä yksiulotteista, vakiomuotoista ja poikittaista aaltoa, joka kulkee narussa positiiviseen x-suuntaan nopeudella c. Naru väliaineena noudattaa Hooken lakia. Y-akseli määritellään aaltoliikkeen suuntaan, joka on kohtisuora etenemissuuntaan nähden. Täten aalto kulkee t aikayksikössä matkan ct. Jos aaltoa tarkastellaan Maan suhteen liikkuvassa koordinaatistossa M, jossa sen suhteellinen nopeus on nolla, saadaan narun minkä tahansa hiukkasen siirtymä DM y aaltoa kuvaavan ajasta riippumattoman aaltofunktion arvona f(xM), eli DM y = f(xM). Jos taas tilannetta tarkastellaan Maan koordinaatistossa, jossa aallon nopeus ei ole nolla, tarvitaan ajasta riippuvaa aaltofunktiota, joka esimerkissämme saa kaksimuuttujaisen muodon f(x,t), jonka lauseke kuvaa x:nnen hiukkasen siirtymää hetkellä t. Voidaan osoittaa, että ajasta riippuvan aaltofunktion yleinen muoto harmoniselle aaltoliikkeelle on aallon kulkusuunnasta riippuen joko f(x-ct) tai f(x+ct), jossa f on aallon muodon määrittävä funktio, joten kokonaislausekkeeksi tulee esim. sin[k(x-ct)]. Tulos seuraa siitä, että aaltofunktio aallon suhteen liikkumattomassa (maan suhteen liikkuvassa) koordinaatistossa voidaan lausua muodossa f(xM) = f(x-ct), jossa x on Maan koordinaatiston koordinaatti. Näin ollen mielivaltaisen narupartikkelin siirtymä Maan koordinaatistossa y-akselin suhteen on niin ikään DY = f(x-ct) samoin merkinnöin. Tulokset voidaan yleistää myös useampiulotteisille aalloille.[2]

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Phillips, A. C.: ”3.2”, Introduction to quantum mechanics, s. 42. Wiley, 2003. ISBN 0-470-85323-9. (englanniksi)
  2. a b Daryl Pedigo: Principles & practice of physics. Boston: {{{Julkaisija}}}, 2015. 879667399. ISBN 978-0-321-94920-2, 0-321-94920-X, 978-0-321-95777-1, 0-321-95777-6, 978-0-321-95836-5, 0-321-95836-5, 978-0-321-95835-8, 0-321-95835-7. Teoksen verkkoversio (viitattu 27.11.2021).

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Mandl, Franz: Quantum Mechanics. Butterworths & Co., 1966 (1957).