Disjunktio

Kohteesta Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Lausetta vastaava Venn-diagrammi
Lausetta vastaava Venn-diagrammi

Disjunktio on propositiologiikassa kaksipaikkainen looginen konnektiivi, joka vastaa yleiskielen sanaa tai. Sillä muodostettu yhdistetty lause on tosi, jos ainakin yksi sen yhdistämistä lauseista on tosi, muussa tapauksessa epätosi.[1] Lauseiden A ja B disjunktiolle käytetään merkintää .

Näin määritellystä disjunktiosta käytetään myös nimitystä inklusiivinen tai eli inklusiivinen disjunktio erotukseksi eksklusiivisesta disjunktiosta ("joko A tai B, mutta ei molemmat"), joka on tosi vain silloin, jos vain toinen sen yhdistämistä lauseista on tosi.[2] Koska sanaa tai käytetään tavallisessa kielessä eri yhteyksissä kummassakin merkityksessä, inklusiivista disjunktiota tarkoitettaessa käytetään mahdollisen väärin­käsityksen välttämiseksi nykyisin joskus ilmaisua ja/tai.

Disjunktioon läheisesti liittyviä käsitteitä muissa yhteyksissä ovat:

Merkinnät[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Loogiselle disjunktiolle käytetään kirjallisuudessa useita eri symboleja. Sanan "tai" (engl. or) ohella sille käytetään yleisesti symbolia "",[3] joka on muodostettu latinan sanan vel ("tai") alkukirjaimesta.[1] Esi­merkiksi "A B " luetaan "A tai B". Tällainen disjunktio on epä­tosi vain jos sekä A että B ovat epä­tosia lauseita, muussa tapauksessa se on tosi.

Kaikki seuraavat ovat disjunktiota:

Boolen algebrassa disjunktiolle käytetään merkintää . Jan Lukasiewiczin prefiksinotaatiossa disjunktion merkkinä käytetään A-kirjainta, joka on lyhenne puolan kielen sanasta alternatywa. Tällöin lauseiden p ja q disjunktio merkitään Apq.[4]

Eri ohjelmointikielissä disjunktiota vastaava operaattori merkitään tavallisimmin joko sanalla or tai kahdella pystyviivalla (||).

Totuustaulu[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Vasemmalla olevien argumenttien disjunktiot: arvon epätosi saavat bitit muodostavat Sierpinskin kolmion.

Operaation totuustaulu on seuraava:[3]

LAUSEET DISJUNKTIO
tosi tosi tosi
tosi epätosi tosi
epätosi tosi tosi
epätosi epätosi epätosi

Ominaisuudet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Looginen disjunktio noudattaa lasku­lakeja, jotka pitkälti ovat analogisia esi­merkiksi reaalilukujen lasku­säännöille. Se on vaihdannainen ja liitännäinen, ja sille pätee myös osittelulaki, kun toisena lasku­toimituksena on looginen konjunktio. Disjunktio on lisäksi idem­potentti eli minkä tahansa lauseen disjunktiolla itsensä kanssa on sama totuus­arvo kuin alku­peräisellä lauseella. Tätä havainnollistavat seuraavat kaaviot:

  • Vaihdannaisuus
        
Venn0111.svg          Venn0111.svg
  • Liitännäisyys
        
Venn 0101 0101.svg Venn 0011 1111.svg          Venn 0111 1111.svg          Venn 0111 0111.svg Venn 0000 1111.svg
  • Osittelulaki loogisen konjunktion suhteen
        
Venn 0101 0101.svg Venn 0000 0011.svg          Venn 0101 0111.svg          Venn 0111 0111.svg Venn 0101 1111.svg
  • Idempotenssi
        
Venn01.svg Venn01.svg          Venn01.svg
        
Venn 1011 1011.svg          Venn 1011 1111.svg          Venn 0101 1111.svg Venn 0011 1111.svg
  • Totuuden säilyttävä validiteetti

Kun kaikki disjunktiolla yhdistettävät lauseet ovat tosia, disjunktio on tosi.

        
Venn0001.svg          Venn0111.svg
(kokeiltava)
  • Epätotuuden säilyttävä validiteetti

Kun kaikki disjunktiolla yhdistettävät lauseet ovat epätosia, disjunktio on epätosi.

        
Venn0111.svg          Venn0111.svg

Jos totuusarvoille käytetään binäärilukumerkintöjä tosi (1) ja epätosi (0), looginen disjunktio toimii lähes samoin kuin binäärinen yhteen­lasku. Erona on vain se, että , kun taas binääri­järjestelmässä .

Sovellukset tietotekniikassa[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Useimmissa ohjelmointikielissä on disjunktiota vastaava operaattori. Se merkitään monissa ohjelmointikielissä varatulla sanalla or, mutta esimerkiksi C:ssä ja siihen pohjautuvissa ohjelmointikielissä kahdella pystyviivalla (||).

Looginen disjunktio suoritetaan yleensä minimaalisella evaluaatiolla. Tämä merkitsee, että jos sen ensimmäinen (vasemmanpuoleinen) operandi on arvoltaan tosi, ohjelma ei edes tarkista, mikä sen jälkimmäisen operandin arvo on.

Useimmissa ohjelmointi­kielissä looginen disjunktio antaa tulokseksi aina boolean-tyyppisen muuttujan, jolla on vain kaksi mahdollista arvoa: tosi (1) tai epätosi (0). Monissa vahvasti tyypitetyissä kielissä disjunktio voidaan sitä paitsi suorittaa vain, jos molemmat sillä yhdistettävät operanditkin ovat boolean-tyyppisiä. Joissakin heikosti tyypitetyissä kielissä, esimerkiksi C:ssä, disjunktio voidaan kuitenkin suorittaa silloinkin, kun operandit ovat esimerkiksi kokonais- tai reaaliluku­tyyppisiä; tällöin tuloksena on 0 (epätosi) vain, jos molemmat operandit ovat nollia, mulloin tuloksena on 1 (tosi). Tällöin siis operandien kaikkien muiden arvon kuin nollan katsotaan vastaavan totuus­arvoa tosi.

Muutamissa ohjelmointikielissä kuten Pythonissa ja JavaScriptissä disjunktio-operaattori voi kuitenkin palauttaa muitakin arvoja kuin 1 tai 0. Tällöin se saa arvokseen operaattorin ensimmäisen operandin arvon, jos se on "tosi" eli ei ole nolla, muussa tapauksessa jälkimmäisen operandin arvon.

Disjunktiota vastaava looginen portti on OR-portti.

Biteittäinen operaatio[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Joissakin ohjelmointikielissä on määritelty myös biteittäinen disjunktio'. Tällöin operandit, jotka voivat olla esimerkiksi binäärisiä kokonaislukuja, käydään läpi bitti bitiltä ja suoritetaan disjunktio-operaatiot kummankin operandin vastaavien bittien välillä. Tuloksena saadaan muuttuja, jossa kunkin bitin arvo riippuu operandien bittien arvoista seuraavasti:

  • 0 or 0 = 0
  • 0 or 1 = 1
  • 1 or 0 = 1
  • 1 or 1 = 1

Käymällä bitit läpi esimerkiksi binääriluvuista 11001010 ja 10100011 saadaan tulokseksi 11101011.

Biteittäinen disjunktio on käytettävissä muun muassa C-kielessä, jossa se merkitään yhdellä pystyviivalla (|).

Biteittäisellä disjunktiolla voidaan muun muassa asettaa halutulle bitille arvo 1 muiden bittien pysyessä ennallaan. Esimerkiksi lauseella x = x | 0b00000001 saadaan muuttujan x viimeinen bitti ykköseksi.

Unioni[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Disjunktiota vastaava operaatio joukko-opissa on unioni. Kahden joukon unioni määritelläänkin disjunktion avulla: , jos ja vain jos . Toisin sanoen alkio a kuuluu joukkojen A ja B unioniin, jos ja vain jos se kuuluu näistä joukoista ainakin toiseen. Tämän vuoksi joukko-opillinen unioni noudattaa pitkälti samoja sääntöjä kuin disjunktiokin: sillekin pätevät vaihdanta-, liitäntä-, osittelu- ja de Morganin lait.

Luonnolliset kielet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Matemaattisessa logiikassa määritellyt käsitteet ovat merkitykseltään täsmällisempiä kuin luonnollisen kielen sanat yleensä ovat. Suomen kielessä disjunktiota vastaa lähinnä sana tai, jota käytetään kuitenkin ainakin kahdessa toisistaan poikkeavassa merkityksessä, kuten sen vastineita useissa muissakin kielissä. Jos joku esimerkiksi pyytää: "Soita minulle tai lähetä sähköpostia", tällöin tarkoitetaan toden­näköisesti: "tee toinen, mutta älä molempia." Jos taas josta­kusta sanotaan: "Kun hän sai niin korkea arvo­sanat, hän selvästikin on hyvin lahjakas tai opiskelee ahkerasti"; tällöin ei suljeta pois sitä mahdollista, että molemmat vaihto­ehdot ovat tosia. Toisin sanoen sana "tai" voi tarkoittaa sekä inklu­siivista että eksklu­siivista disjunktiota.[2] Silloin kun kyseessä on inklu­siivinen disjunktio, käytetään nykyisin toisinaan asian selventämiseksi ilmaisua "ja/tai".

Käännös suomeksi
Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.
Alkuperäinen artikkeli: en:Logical disjunction

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Disjunction Stanford Enclycopedia of Philosophy. Viitattu 9.4.2015.
  2. a b ”Logiikka (Lauselogiikka, Konnektiivit)”, Otavan suuri ensyklopedia, 5. osa (Kriminologia–Makuaisti), s. 3800. Otava, 1978. ISBN 951-1-04827-9.
  3. a b ”Disjunction”, Encyclopedia of Mathematics. Springer, The European Mathematical Society, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. Teoksen verkkoversio.
  4. Jósef Maria Bocheński: A Précis of Mathematical Logic. Otto Bird kääntänyt englanniksi ranskalaisista ja saksalaisista laitoksista. Dordrecht: D. Reidel, 1959.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]