Biot’n ja Savartin laki

Kohteesta Wikipedia
(Ohjattu sivulta Biot'n ja Savartin laki)
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Biot'n ja Savartin lain mukaan johtimessa kulkeva sähkövirta I synnyttää johtimen ympärille magneettikentän B.

Biot'n ja Savartin laki on sähkömagnetismia kuvaava laki, jolla on myös sovelluksia aerodynamiikassa. Alun perin laki kuvaa vakiosähkövirran synnyttämää magneettikenttää. Yksinkertaisen analogian avulla laki voidaan ulottaa myös laskemaan pyörteiden synnyttämiä ilman nopeuksia.

Biot'n ja Savartin laki seuraa Ampèren laista. Se on nimetty ranskalaisten fyysikoiden Jean Baptiste Biot'n (1774–1862) ja Felix Savartin (1791–1841) mukaan.[1] Kaava kertoo, että jos määrittelemme differentiaalisen virta-alkion , niin sitä vastaava differentiaalinen magneettivuon tiheys on [2][3]

missä

on tyhjiön permeabiliteetti
on virta ampeereina
on virta-alkion differentiaalinen pituusvektori
on tarkasteltavan magneettikentän pisteen paikkavektori
on yksikkövektori virta-alkiosta tarkasteltavaan magneettikentän pisteeseen
on etäisyys virta-alkiosta tarkasteltavaan magneettikentän pisteeseen (vektorin pituus).

Integroimalla tätä suljetun virtasilmukan yli saadaan silmukan synnyttämä magneettikenttä määritettyä mielivaltaisessa pisteessä [2][4]

.

Ei-origokeskinen muoto[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Magneettivuon tiheys pisteessä aiheutuu useasta differentiaalisesta kentästä , kuten pisteessä esitetyn virta-alkion kentästä. Tarkastelija sijaitsee origossa ().

Yllä esitetty muoto differentiaaliselle magneettivuon tiheydelle pätee vain tapauksessa, jossa tarkastelija (eli origo) sijaitsee tarkasteltavassa magneettikentän pisteessä. Jos tarkastelija on systeemin ulkopuolinen, täytyy yhtälöön tehdä pieniä muutoksia.

Tarkastellaan virtajohdinta, jossa kulkee sähkövirta . Kiinnitetään johtimen mielivaltaiseen pisteeseen virta-alkion differentiaalinen pituusvektori . Merkitään vektoria (pisteen paikkavektori) :llä ja vektoria (pisteen paikkavektori) :lla. Vektorien laskusääntöjen nojalla vektori on tällöin . Biot'n ja Savartin lain yleinen muoto saadaan korvaamalla edellä esitetyssä muodossa vektori vektorilla . Tällöin magneettivuon tiheys pisteessä origosta katsottuna on:

. [4]

Merkintä tarkoittaa vektorin normia eli pituutta. Integraalimuoto saadaan vastaavasti:

. [4]

Ei-origokeskisen muodon etu on se, että sen avulla magneettivuon tiheys on hyvin määritelty myös, jos on johtimen piste (jolloin alkuperäisessä yhtälössä ). Tällöin tosin magneettivuon tiheys on nolla, sillä .

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pitkän, suoran virtajohtimen magneettikenttä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lasketaan (äärettömän) pitkän, ohuen, -akselilla kulkevan virtajohtimen magneettivuon tiheys johtimen ulkopuolella etäisyydellä . Johtimessa kulkee sähkövirta .

Ratkaisu:

Käytetään hyödyksi edellisen kappaleen kuvaa ja merkintöjä. Origo sijaitsee nyt johtimessa, sillä se on -akselin nollapiste. Koska ollaan kiinnostuneita vain etäisyyden vaikutuksesta magneettivuon tiheyteen, on helpointa valita piste siten, että siitä kohtisuorasti johtimeen vedetty jana osuu origoon. Piste sijaitsee myös -akselilla.

Virtajohdin kulkee -akselilla, joten virta-alkio on

,

missä on -akselin kantavektori. Jos virta käännetään vastakkaissuuntaiseksi, korvataan kantavektori :lla. Muut vektorit ja niiden pituudet ovat:

Merkitään ristituloa varten vektoreiden ja välistä kulmaa :lla. Trigonometrian avulla huomataan, että

.

Lasketaan magneettivuon tiheys (suuruus) pisteessä käyttäen Biot'n ja Savartin lain ei-origokeskistä muotoa. Koska johdin on äärettömän pitkä, ovat integrointirajat .

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b Lindell, Ismo: Sähkön pitkä historia, s. 124. 3. painos. Helsinki: Otatieto, 2009. ISBN 978-951-672-358-0.
  2. a b c Voipio, Erkki: Sähkö- ja magneettikentät, s. 97–100. Moniste 381. Espoo: Otakustantamo, 1987. ISBN 951-672-038-2.
  3. Biot-Savart law (html) PlanetPhysics. (englanniksi)
  4. a b c I. S. Grant & W. R. Phillips: ”4.4.2”, Electromagnetism, 2. painos, s. 138. Wiley, 2003. ISBN 0-471-92712-0. (englanniksi)

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Lindell, Ismo & Sihvola, Ari: Sähkömagneettinen kenttäteoria 1. Staattiset kentät. Helsinki: Otatieto, 2013. ISBN 978-951-672-354-2.
Tämä fysiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.