Lebesgue-Stieltjes-integraali

Lebesgue–Stieltjes-integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta

$\int_a^b f(x) \, dg(x)$,

missä $f$ ja $g$ ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon $a,b \in \mathbb{R}$, $a<b$, funktio $g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

$g(t-) = \lim_{s \rightarrow t-} g(s) = \lim_{s \uparrow t} g(s)$

kaikissa pisteissä $t \in [a,b]$ olemassa.

Olkoon $[\alpha,\beta] \subset [a,b]$. Määritellään joukkofunktio $m_g$ kaavalla $m_g((\alpha,\beta]) = g(\beta) - g(\alpha)$. Tällöin $m_g$ on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin $[a,b]$ Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion $m_g$ kanssa.

Mitallisen funktion $f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla $m_g$, eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina

$\int_{[a,b]} f \, dm_g$.

Sille käytetään kuitenkin merkintää

$\int_a^b f(x) \, dg(x)$.

Funktiota $f$ kutsutaan integrandiksi ja funktiota $g$ integraattoriksi.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos $g$ on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma $g = g_1 - g_2$, missä $g_1$ ja $g_2$ ovat kasvavia funktioita $[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$. Tällöin määritellään

$\int_a^b f(x) \, dg(x) = \int_a^b f(x) \, dg_1(x) - \int_a^b f(x) \, dg_2(x)$.

Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:

$\int_a^b f(x) \, d(\alpha_1 g_1(x) + \alpha_2 g_2(x)) = \alpha_1 \int_a^b f(x) \, dg_1(x) + \alpha_2 \int_a^b f(x) \, dg_2(x)$.

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion $f$ Riemannin integraaliksi yli välin $[a,b]$:

$\int_a^b f(x) \, d(Id(x)) = \int_a^b f(x) \, dx$

olettaen, että $f$ on Riemann-integroituva.

Jos $g$ on derivoituva sekä $f$ ja $g'$ ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava

$\int_a^b f(x) \, dg(x) = \int_a^b f(x) g'(x) \, dx$.

Jos funktiolla $g$ on epäjatkuvuuskohta pisteessä $c \in [a,b]$ ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin

$\int_a^b f(x) \, dg(x) = \int_a^c f(x) g'(x) \, dx + \int_c^b f(x) g'(x) \, dx + f(c)\left( \lim_{x \rightarrow c+} g(x) - \lim_{x \rightarrow c-} g(x) \right)$.

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos $f$ on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin

$\int_a^b f(x) \, dg(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^n)(g(x_{i+1}^n) - g(x_i^n))$,

missä $a = x_1^n < x_2^n < \ldots < x_n^n = b$ on tihentyvä jono välin $[a,b]$ jakoja, eli $\max \{ x_{i+1}^n - x_i^n \, | \, i = 1, \ldots, n-1 \} \rightarrow 0$, kun $n \rightarrow \infty$.

Katso myös

• Odotusarvo

Aiheesta muualla

• MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral