Lebesgue-Stieltjes-integraali

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Lebesgue–Stieltjes-integraali on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta

\int_a^b f(x) \, dg(x),

missä f ja g ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon a,b \in \mathbb{R}, a<b, funktio g: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

g(t-) = \lim_{s \rightarrow t-} g(s) = \lim_{s \uparrow t} g(s)

kaikissa pisteissä t \in [a,b] olemassa.

Olkoon [\alpha,\beta] \subset [a,b]. Määritellään joukkofunktio m_g kaavalla m_g((\alpha,\beta]) = g(\beta) - g(\alpha). Tällöin m_g on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin [a,b] Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion m_g kanssa.

Mitallisen funktion f: [a,b] \rightarrow \mathbb{R} Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla m_g, eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina

\int_{[a,b]} f \, dm_g.

Sille käytetään kuitenkin merkintää

\int_a^b f(x) \, dg(x).

Funktiota f kutsutaan integrandiksi ja funktiota g integraattoriksi.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos g on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma g = g_1 - g_2, missä g_1 ja g_2 ovat kasvavia funktioita [a,b] \rightarrow \mathbb{R}. Tällöin määritellään

\int_a^b f(x) \, dg(x) = \int_a^b f(x) \, dg_1(x) - \int_a^b f(x) \, dg_2(x).

Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:

\int_a^b f(x) \, d(\alpha_1 g_1(x) + \alpha_2 g_2(x)) = \alpha_1 \int_a^b f(x) \, dg_1(x) + \alpha_2 \int_a^b f(x) \, dg_2(x).

Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion f Riemannin integraaliksi yli välin [a,b]:

\int_a^b f(x) \, d(Id(x)) = \int_a^b f(x) \, dx

olettaen, että f on Riemann-integroituva.

Jos g on derivoituva sekä f ja g' ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava

\int_a^b f(x) \, dg(x) = \int_a^b f(x) g'(x) \, dx.

Jos funktiolla g on epäjatkuvuuskohta pisteessä c \in [a,b] ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin

\int_a^b f(x) \, dg(x) = \int_a^c f(x) g'(x) \, dx + \int_c^b f(x) g'(x) \, dx + f(c)\left( \lim_{x \rightarrow c+} g(x) -  \lim_{x \rightarrow c-} g(x) \right) .

Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos f on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin

\int_a^b f(x) \, dg(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \sum_{i=1}^n f(x_i^n)(g(x_{i+1}^n) - g(x_i^n)),

missä a = x_1^n < x_2^n < \ldots < x_n^n = b on tihentyvä jono välin [a,b] jakoja, eli \max \{ x_{i+1}^n - x_i^n \, | \, i = 1, \ldots, n-1 \} \rightarrow 0, kun n \rightarrow \infty.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]