Rajoitetusti heilahteleva kuvaus

Rajoitetusti heilahtelevuus on esimerkiksi reaalifunktioiden ja stokastisten prosessien ominaisuus. Rajoitetusti heilahteleva funktio voidaan mieltää kuvaajaltaan riittävän sileäksi erilaisiin laskutoimituksiin. Rajoitetusti heilahtelevuuden määritelmä poikkeaa käyttöyhteydestä riippuen.

Kuvausta, joka ei ole rajoitetusti heilahteleva, kutsutaan rajoittamattomasti heilahtelevaksi.

Rajoitetusti heilahteleva reaalifunktio

Olkoon $[a,b]\subset \mathbb {R}$. Funktio $f:[a,b]\rightarrow \mathbb {R}$ on rajoitetusti heilahteleva, jos pätee

$\sup \left.\left\{\sum _{i=0}^{n-1}|f(t_{i+1})-f(t_{i})|\,\right|\,a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n-1}<t_{n}=b\ {\textrm {ja}}\ n\in \mathbb {N} \right\}<\infty$.

Ominaisuuksia

$f$ on rajoitetusti heilahteleva jos ja vain jos on olemassa hajotelma $f=f_{1}-f_{2}$, missä funktiot $f_{1}$ ja $f_{2}$ ovat kasvavia.

Aiheesta muualla

• MathWorld. Bounded Variation