Laajennettu kompleksitaso

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Laajennettu kompleksitaso (\overline{\C}) on kompleksilukujen joukko, johon on lisätty yksi piste, äärettömyyspiste (\infty). Tämän pisteen ajatellaan olevan äärettömän kaukana missä suunnassa tahansa.

Laajennetulle tasolle määritellään topologia, jonka kannan muodostavat kompleksitason avoimet kiekot sekä sellaiset joukot, joihin kuuluvat äärettömyyspiste sekä kaikki kompleksiluvut, joiden itseisarvo on jotakin vakiota suurempi, eli muotoa

\{z \in {\C} | |z - z_0| < r \} tai
\{\infty \} \cup \{z \in {\C} | |z| >= r \}

olevat joukot. Tällöin laajennettu taso on topologisena avaruutena kompakti.

Laajennettu taso voidaan kuvata stereografisella projektiolla homeomorfisesti Riemannin pallolle. Laajennettu taso on esimerkki topologisesta Aleksandrovin kompaktisoinnista eli yhden pisteen kompaktisoinnista.

Laajennettua kompleksitasoa käytetään funktioteoriassa yleisesti funktioiden määrittelyjoukkona.

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]