Aleksandrovin kompaktisointi

Aleksandrovin kompaktisointi eli yhden pisteen kompaktisointi on matemaattisessa topologiassa menetelmä, jolla mikä tahansa ei-kompakti topologinen avaruus voidaan laajentaa kompaktiksi avaruudeksi lisäämällä siihen yksi piste. Se on saanut nimensä venäläisen matemaatikko Pavel Aleksandrovin mukaan.

Olkoon X topologinen avaruus. Lisätään siihen yksi piste, jolle yleensä käytetään merkintää ∞, ja muodostetaan täten laajennettu avaruus $X^{*}=X\cup {\infty }$. Tälle avaruudelle X^*, jota sanotaan X:n Aleksandrovin eli yhden pisteen kompaktisoinniksi, määritellään topologia siten, että siinä avoimia joukkoja ovat kaikki ne X:n osajoukot, jotka ovat X:n topologiassa avoimia, sekä sellaiset joukot $U\subset X^{*}$, jotka sisältävät pisteen ∞ ja joiden komplementti X:ssä on suljettu ja kompakti joukko.

Topologisen avaruuden X Aleksandrovin kompaktisointi on Hausdorffin avaruus, jos ja vain jos X on lokaalisti kompakti Hausdorffin avaruus.

Esimerkki: laajennettu taso

Kompleksitason pisteen kuvaus stereografisella projektiolla pallonpinnalle.

Tunnetuin esimerkki yhden pisteen kompaktisoinnista on laajennettu kompleksitaso $\mathbb {C} ^{*}$, jota funktioteoriassa käytetään yleisesti funktioiden määrittelyjoukkona. Se saadaan lisäämällä kompleksitasoon $\mathbb {C}$ piste ∞, jonka ajatellaan olevan äärettömän kaukana missä suunnassa tahansa. Tämä laajennettu taso voidaan kuvata homeomorfisesti käänteisellä stereografisella projektiolla yksikköpallon pinnalle, jota sanotaan Riemannin palloksi. Tässä kuvauksessa pallon pohjoisnapa eli piste (0,0,1) vastaa laajennetun tason pistettä ∞, muut pisteet kompleksitason pisteitä.

Vastaavalla tavalla voidaan mikä tahansa n-ulotteinen avaruus $\mathbb {R} ^{n}$ laajentaa Aleksandroffin kompaktisoinnilla kompaktiksi avaruudeksi $\mathbb {R} ^{n}$^*, joka on homeomorfinen n-ulotteisen pallon kanssa.

Lähteet

• V. V. Fedorchuk: Aleksandrov compactification Springer. Viitattu 27.8.2011.
• Jussi Väisälä: Topologia II, s. 71–72. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.