Kosketuspiste

Topologisen avaruuden $X$ osajoukon $A$ kosketuspisteellä tarkoitetaan sellaista topologisen avaruuden $X$ pistettä $x$, että kaikki $x$:n ympäristöt $U$ sisältävät ainakin yhden $A$:han kuuluvan pisteen. Formaalisti: $x\in X$ ja $A\subset X$ siten, että kaikilla $x$:n ympäristöillä $U$ pätee $U\cap A\neq \emptyset$. Pisteen $x$ ei ole välttämätöntä kuulua $A$:han.

Minkä tahansa osajoukon jokainen piste on samalla sen kosketuspiste, koska se kuuluu jokaiseen ympäristöönsä. Lisäksi joukon A kosketuspisteitä ovat kaikki joukon reunapisteet, jotka kuitenkin voivat joko kuulua tai olla kuulumatta A:han.

A:n kosketuspisteiden joukkoa sanotaan A:n sulkeumaksi:

${\overline {A}}=\{x\in X:x\ on\ A\colon n\ kosketuspiste\}$

Jokainen joukko $A$ on siis sulkeumansa osajoukko: $A\subset {\overline {A}}$. Jos joukon A kaikki kosketuspisteet kuuluvat A:han eli A on itsensä sulkeuma, A on suljettu joukko, $A={\overline {A}}$.

Sulkeumaa A saatetaan merkitä myös muilla tavoin: cl(A), Cl(A) tai $\scriptstyle A^{-}$.

Esimerkkejä

• Avoimen välin ]a,b[ kosketuspisteitä ovat kaikki välillä olevat pisteet sekä myös sen päätepisteet a ja b, vaikka ne eivät kuulu avoimeen väliin.

• Cl ([0,1[) ∩ Cl (]1,2]) = [0,1] ∩ [1,2] = {1}

• Cl ([0,1[ ∩ ]1,2]) = Cl ($\varnothing$) = $\varnothing$.

Kasautumispiste

Joukon A kasautumispiste on piste x, jonka jokainen ympäristö sisältää x:n lisäksi jonkin muunkin A:han kuuluvan pisteen. Jokainen kasautumispiste on siis samalla kosketuspiste, mutta joukolla saattaa olla myös erakkopisteitä, jotka kuuluvat joukkoon ja ovat myös sen kosketuspisteitä, mutta eivät kasautumispisteitä.

Lähteet

• Väisälä, Jussi: Topologia I, 5. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.
• Väisälä, Jussi: Topologia II, 2. korjattu painos. Helsinki: Limes ry, 2005. ISBN 951-745-209-8.

Kirjallisuutta

• Lipschutz, Seymour: General Topology. McGraw-Hill, 1965. ISBN 0-07-037988-2.