Kasautumispiste

Topologiassa avaruuden X kasautumispisteellä tarkoitetaan sellaista pistettä, jonka jokaisessa ympäristössä on jokin toinen X:n piste. Formaalisti x on X:n kasaantumispiste, jos x:n ympäristöille U pätee $\forall U\subset X\exists x'\in X$ siten, että $x'\in X\setminus \{x\}$ .

Kasautumispiste voidaan määritellä myös toisella tapaa. Olkoon A $\subset X$ . Piste $x\in X$ on A:n kasautumispiste, jos jokaisessa x:n ympäristössä U on ääretön määrä A:n pisteitä. Tähän riittää se, että jokaisessa x:n ympäristössä on jokin A:n piste y ja y ei ole piste x.

Joukon A kasautumispiste voi joko kuulua A:han tai olla siihen kuulumatta. Kasautumispiste kuuluu aina joukon sulkeumaan.

Esimerkkejä [muokkaa]

Määritellään joukko $X=\{a, b, c, d, e\}$ ja tälle topologia $\{X,\emptyset,\{a\}, \{c, d\}, \{a, c, d\}, \{b, c, d, e\}\}$ . Osajoukon ${a,b,c}$ kasautumispisteet ovat $b$ , $d$ ja $e$ .
[0,2[:n kasaantumispisteiden joukko on [0,2].
Kokonaislukujen joukolla ei ole kasautumispistettä.
Kokonaislukujen käänteislukujen 1/n ( $n \in N$ ) kasautumispiste on 0, sillä jokainen avoin väli ] $-\epsilon, \epsilon$ [ sisältää kaikkien riittävän suurten kokonaislukujen käänteisluvut.