Kimmoisuusaste

Pöydästä toistuvasti kimpoava pallo, josta on otettu stroboskooppikuva 25 kertaa sekunnissa. Kuvat yhdessä osoittavat pallon liikeradan. Ellei ilmanvastusta oteta huomioon, pallon ja pöydän välisen törmäyksen kimmoisuusaste voidaan laskea neliöjuurena kunkin ponnahduksen korkeuden suhteesta edellisen ponnahduksen korkeuteen.

Kimmoisuusaste, restituutiokerroin eli sysäyskerroin (tunnus e) on niiden nopeuksien suhde, jotka kahdella toisiinsa törmäävällä kappaleella on toistensa suhteen törmäyksen jälkeen ja ennen törmäystä. Se on yleensä arvojen 0 ja 1 välillä, missä 1 merkitsee täysin kimmoista törmäystä. Täysin kimmottoman törmäyksen kimmoisuusaste on 0, mutta arvo 0 ei välttämättä merkitse täysin kimmotonta törmäystä. Kimmoisuusaste voidaan mitata Leebin kovuuskokeella, jossa saatu arvo on tuhat kertaa kimmoisuusaste, mutta tulos pätee vain koetta vastaavissa olosuhteissa eikä ole testattavan materiaalin yleinen kimmoisuusaste.

Kimmoisuusaste on lähes aina pienempi kuin 1, koska osa kappaleiden alkuperäisestä liike-energiasta muuttuu niiden pyörimisliikkeen liike-energiaksi, kuluu plastisiin muodonmuutoksiin tai muuttuu lämmöksi. Se voi kuitenkin olla myös suurempi kuin 1, jos energiaa vapautuu esimerkiksi törmäyksen käynnistämän kemiallisen reaktion vaikutuksesta, tai jos niiden pyörimisliike törmäyksessä hidastuu tai jos niiden sisäenergia muutoin vähenee tavalla, joka vaikuttaa niiden nopeuteen törmäyksen jälkeen.

${\text{Kimmoisuusaste }}(e)={\frac {\text{Suhteellinen nopeus törmäyksen jälkeen}}{\text{ Suhteellinen nopeus ennen törmäystä}}}$

Kimmoisuusasteella ja kappaleiden (suhteellisella) liike-energialla on yhteys $e={\sqrt {\frac {E_{k}{\text{(törmäyksen jälkeen)}}}{E_{k}{\text{(ennen törmäystä)}}}}}$

Kimmoisuusasteen matematiikan kehitti Isaac Newton vuonna 1687.

Törmäyssuora

Törmäyssuora on suora, joka törmäyksen tapahtuessa kulkee kappaleiden kosketuskohdan kautta ja on kohtisuorassa niitä tässä pisteessä sivuavaan tasoon nähden. Jos kappaleiden painopisteet ovat tällä suoralla, kyseessä on keskeinen, muussa tapauksessa epäkeskeinen törmäys. Jos kappaleet ennen törmäystä liikkuvat toistensa suhteen törmäys­suoran suuntaisesti, törmäys on suora, muussa tapauksessa vino.

Kimmoisuusasteen arvot eri väleillä

Kimmoisuusaste e on tavallisesti positiivinen reaaliluku 0:n ja 1:n välillä. Sen eri arvot luonnehtivat törmäystä seuraavati:

e = 0: Kyseessä on täysin kimmoton törmäys, jonka jälkeen kappaleet jäävät kiinni toisiinsa eli niiden nopeus ja samalla liike-energia toistensa suhteen on nolla. Liike-energia muuttuu kokonaisuudessaan lämmöksi tai kuluu kappaleiden muodonmuutoksen edellyttämään työhön.

0 < e < 1: Kyseessä on tavanomainen kimmoton törmäys, jossa osa vain osa liike-energiasta muuttuu lämmöksi tai kuluu kappaleiden muodonmuutoksiin. Kappaleet eivät jää kiinni toisiinsa, mutta niiden nopeus toistensa suhteen on törmäyksen jälkeen pienempi kuin ennen sitä.

e = 1: Kyseessä on täysin kimmoinen törmäys, jossa liike-energiaa ei menetetä. Törmäyksen jälkeen kappaleet etääntyvät toisistaan yhtä suurella nopeudella toistensa suhteen kuin ne sitä ennen lähestyvät toisiaan.

e < 0: Nollaa pienempi kimmoisuusaste kuvaa törmäystä, jossa kappaleiden liike toistensa suhteen on törmäyksen jälkeen samansuuntainen kuin sitä ennen. Tämä merkitsee, että toinen kappaleista pääsee toisen läpi jäämättä siihen täysin kiinni. Liikemäärä siirtyy vain osittain kappaleelta toiselle. Esimerkkinä voidaan ajatella pientä, tiheää kappaletta, joka kulkee suuren, vähemmän tiheän kappaleen läpi, esimerkiksi ampuma-aseen luotia, joka kulkee maalitaulun läpi tehden siihen reiän tai vuotavan padon läpi syöksyvää aaltoa.

e > 1: Tämä kuvaa törmäystä, jossa energiaa vapautuu. Esimerkiksi kahden nitroselluloosakuulan törmätessä toisiinsa ne räjähtävät tärmäyksen hetkellää. Nykyisin tiedetään, että tietyissä erikoistapauksissa vinojen törmäysten kimmoisuusaste voi ilman räjähdystäkin olla suurempi kuin yksi. Tällaiset ilmiöt johtuvat kitkan aiheuttamista muutoksista kimmonneiden kappaleiden liikenergiaa. Jäykän systeemin täydellisessä räjähdyksessä kimmoisuusaste voi olla jopa ääretön.

Tarkemmin tutkittaessa osoittautuu, että jokaisessa törmäyksessä, jolla 0 < e ≤ 1, voidaan erottaa kaksi vaihetta. Ensimmäisessä vaiheessa kappaleissa tapahtuu muodonmuutoksia, joiden aikana niiden suhteellinen nopeus pienenee nollaan. Tällöin kappaleiden liike-energia muuttuu kimmovoimia vastaan tehdyn työn vaikutuksesta potentiaalienergiaksi ja, elleivät ne ole konservatiivisia, osittain lämmöksi. Jälkimmäisen vaiheen aikana muodonmuutokset yleensä ainakin osittain palautuvat, ja ellei törmäys ole täysin kimmoton, potentiaalienergia muuttuu ainakin osittain takaisin liike-energiaksi. Ensimmäisen vaiheen päättyessä on hetki, jolloin kimmosessakin törmäyksessä kappaleiden nopeus toistensa suhteen on nolla. Silloin niiden tilapäinen, palautuva muodonmuutos on maksimissaan, ja voidaan sanoa, että sillä hetkellä kimmoisuusaste e on hetkellisesti nolla.

Kappalepari

Kimmoisuusaste ei ole yksittäisen kappaleen, vaan kahden kappaleen muodostaman systeemin eli parin ominaisuus. Jos sama kappale törmää kahteen eri kappaleeseen, kummallakin törmäyksellä voi olla hyvin erisuuri kimmoisuusaste. Kun kappaletta kuvaillaan ilmoittamalla sen muiden ominaisuuksien ohella myös törmäysaste, ikään kuin se olisi kappaleen sisäinen ominaisuus, tarkoitetaan kimmoisuusastetta kappaleen törmätessä toiseen samanlaiseen kappaleeseen tai jäykkään seinään.

Täysin jäykkiä seiniä ei todellisuudessa ole olemassa, mutta sellaista voidaan approksimoida teräsesteellä tutkittaessa sellaisten pallojen kimmoisuusastetta, joiden kimmomoduuli on paljon pienempi kuin teräksen.

Yhteys energian ja liikemäärän säilymiseen

Yksiulotteisen törmäyksen kaksi perusperiaatetta ovat energian säilyminen (kimmoisessa törmäyksessä liike-energian säilyminen) ja liikemäärän säilyminen. Näistä kahdesta voidaan johtaa kolmas yhtälö, edellä esitetty restituutioyhtälö. Törmäyksiä koskevien probleemojen ratkaisemiseen riittää mitkä tahansa kaksi näistä kolmesta. Restituutioyhtälön etuna on, että se toisinaan tarjoaa helpomman lähestymistavan probleemaan.

Olkoot $m_{1}$ ja $m_{2}$ kappaleiden 1 ja 2 massat ja $u_{1}$ ja $u_{2}$ niiden nopeudet ennen törmäystä. Käytetään niiden nopeuksille törmäyksen jälkeen merkintöjä $v_{1}$ ja $v_{2}$. Saadaan:

${\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}$

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan:

$m_{1}(u_{1}^{2}-v_{1}^{2})=m_{2}(v_{2}^{2}-u_{2}^{2})$

$m_{1}(u_{1}+v_{1})(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}+u_{2})(v_{2}-u_{2})$

ja toisesta:

$m_{1}(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})$

Jakolaskun jälkeen:

$u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}$

$u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})$

$-{\frac {v_{1}-v_{2}}{u_{1}-u_{2}}}=1$

Tämä on restituutioyhtälö, ja kimmoisuusaste eli restituutiokerroin on 1, mikä vastaa täysin kimmoista törmäystä.

Urheiluvälineet

Kimmoisuusasteen käsite tuli suurelle yleisölle tai ainakin golfin pelaajille tutuksi, kun golfvälineiden valmistajat alkoivat tehdä ohutpintaisia, taipuisia mailoja, joissa esiintyy niin sanottu trampoliini-imiö: energiaa varastoituu mailoihin siten, että niillä lyötäessä pallo lentää entistä pitemmälle. Johtava yhdysvaltalainen golfjärjestö USGA on ryhtynyt testaamaan mailoja kimmoisuusasteen määrittämiseksi ja asettanut ylärajan 0.83:een. Huhtikuussa 2006 Steven J. Quintavalla sai asiasta laadituksi yksityiskohtaisemman selostuksen (nro RB/co42006-01), joka käsittelee viittä ammattigolfaajien eniten käyttämiin kuuluvaa pallotyyppiä. Raportissa kiinnitetään erityistä huomiota kimmoisuusasteseen. Keinotekoisten polymeerien eli muovien luonteesta johtuu, että niihin kohdistuva rasitus ja jännitys ei ole newtonilainen, toisin kuin muun muassa fluideilla ja myös metalleilla olisi asian laita. Tämän vuoksi kimmoisuusaste riippuu myös lyöntinopeudesta ja pienenee nopeuden kasvaessa. USGA on selvästi ilmoittanut, että mitään lisäetua saada nostamalla lyöntinopeus yli 90 mailiin tunnissa. Raportin mukaan kimmoisuusaste on 0,845 lyöntinopeuden ollessa 90 mailia tunnissa, mutta se pienenee arvoon 0,797 lyöntinopeuden noustessa 130 mailiin tunnissa. Edellä mainuttu trampoliini-ilmiö osoittaa tämän selvästi, sillä se pienentää törmäykseen liittyvää jännitystä ja näin ollen "pidentää" törmäyksen kestoa.

Erään artikkelin mukaan kaikilla tennismailoilla kimmoisuusaste on normaalisti 0,85, joskin jänteiden kireys ja kehyksen jäykkyys voivat saada aikaan poikkeamia.

Pöytätenniksen sääntöjen mukaan käytettävän pöydän on oltava sellainen, että pöytätennispallo kimpoaa noin 23 cm:n korkeuteen, kun se pudotetaan pöydälle 30 cm:n korkeudesta. Tämä merkitsee, että pallon ja pöydän välisen törmäyksen kimmoisuusasteen on oltava välillä 0,89...0,92. Kun nahkainen koripallo putoaa linoleumilla päällystetylle kovalle betonilattialle, törmäyksen kimmoisuusaste on noin 0,81..0,85.

Yhtälöt

Kahden kappaleen, A ja B yksiulotteisessa törmäyksessä kimmoisuusaste saadaan yhtälöstä

$e={\frac {v_{\text{b}}-v_{\text{a}}}{u_{\text{a}}-u_{\text{b}}}}$, missä:

$v_{\text{a}}$ on kappaleen A nopeus törmäyksen jälkeen,

$v_{\text{b}}$ on kappaleen B nopeus törmäyksen jälkeen,

$u_{\text{a}}$ on kappaleen A nopeus ennen törmäystä ja

$u_{\text{b}}$ on kappaleen B nopeus ennen törmäystä.

Vaikka kimmoisuusaste e: itsessään ei suoraan riipukaan kappaleiden massoista, on huomattava, että nopeudet törmäyksen jälkeen riippuvat myös niiden massoista. Jäykkien kappaleiden kaksi- ja kolmiulotteisissa törmäyksissä käytetyt nopeudet ovat niiden nopeuksien niiden yhteiseen tangenttitasoon nähden kohtisuorat komponentit, toisin sanoen törmäyssuoran suuntaiset komponentit.

Kun kappale kimpoaa kiinteästä esteestä, e saadaan sen nopeuden suhteena, joka kappaleella törmäyksen jälkeen, siihen nopeuteen, joka sillä oli ennen törmäystä:

$e={\frac {v}{u}}$, missä

$v$ on kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen ja

$u$ on kappaleen nopeus ennen törmäystä.

Tapauksissa, joissa kitka voidaan jättää huomioon ottamatta ja kappale pudotetaan levosta vaakasuoralle pinnalle, tämä on yhtäpitävää seuraavien kanssa:

$e={\sqrt {\frac {h}{H}}}$, missä

$H$ on korkeus, jolta kappale pudotetaan, ja

$h$ on korkeus, jolle kappale kimpoaa.

Kimmoisuusaste voidaan käsittää mitaksi sille, kuinka suurelta osaltaan mekaaninen energia säilyy, kun kappale kimpoaa pinnalta. Siinä tapauksessa, että kappale kimpoaa paikoillaan pysyvästä kohteesta, gravitaatiopotentiaalienergian PE muutos itse törmäyksen aikana on käytännössä nolla, ja näin ollen e liittyy siihen, kuinka suuri kappaleen liike-energia on törmäyksen jälkeen verrattuna siihen, kuinka suuri se oli ennen törmäystä:

$''e''={\sqrt {\frac {KE_{\text{(törmäyksen jälkeen)}}}{KE_{\text{(ennen törmäystä)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}$

Jos kitkavoimat voidaan jättää huomioon ottamatta (kuten on laita lähes kaikissa opiskelijalaboratorioissa, joissa asiaa kokeillaan) ja kappale pudotetaan levosta vaakasuoralle pinnalle, voidaan yhtä hyvin vertailla kappaleen potentiaalienergiaa lähtötilanteessa (pudotuskorkeudella) ja sillä hetkellä, jolloin se kimmottuaan on korkeimmillaan (kimpoamiskorkeudella). Tässä tapauksessa kappaleen liike-energia on nolla sekä lähtötilanteessaan että sen ollessa törmäyksen jälkeen korkeimmillaan, ja näin ollen:

$e={\sqrt {\frac {PE_{\text{(kimpoamiskorkeudella)}}}{PE_{\text{(pudotuskorkeudella)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}$

Nopeudet törmäyksen jälkeen

Kimmoisia törmäyksiä koskevia yhtälöt voidaan muuntaa niin, että niissä otetaan huomioon kimmoisuusaste, jolloin niitä voidaan soveltaa myös kimmottomiin törmäyksiin.

$v_{a}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}e(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$

and

$v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}e(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$

missä

$v_{\text{a}}$ on ensimmäisen kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen,

$v_{\text{b}}$ on toisen kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen,

$u_{\text{a}}$ on ensimmäisen kappaleen nopeus ennen törmäystä,

$u_{\text{b}}$ on toisen kappaleen nopeus törmäyksen jälkeen,

$m_{\text{a}}$ on ensimmäisen kappaleen massa ja

$m_{\text{b}}$ on toisen kappaleen massa.

Johto

Edellä esitetyt yhtälöt voidaan johtaa ratkaisemalla analyyttisesti yhtälöryhmä, joka voidaan muodostaa kimmoisuusasteen määritelmän ja kaikissa törmäyksissä pätevän liikemäärän säilymislain avulla. Käyttämällä edellä esitettyjä merkintöjä, joissa $u$ tarkoittaa nopeuksia ennen törmäystä ja $v$ nopeuksia törmäyksen jälkeen, saadaan:

${\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a}}v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&e={\frac {v_{\text{b}}-v_{\text{a}}}{u_{\text{a}}-u_{\text{b}}}}\\\end{aligned}}$

Ratkaisemalla ensimmäisestä, liikemäärän säilymistä kuvaavasta yhtälöstä $v_{\text{a}}$ ja jälkimmäisestä, kimmoisuusasteen määritelmää esittävästä yhtälöstä $v_{\text{b}}$ saadaan:

${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=e(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$

Korvataan tämän jälkeen v_a:lle saadussa lausekkeessa v_b sille johdetulla lausekkeella saadaan edelleen:

${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}e(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\right]\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$

Vastaavalla tavalla voidaan johtaa lauseke myös $v_{\text{b}}$:lle.

Kimmoisuusasteen riippuvuus kappaleen muodosta ja törmäyksen suunnasta

Kun törmäävien kappaleiden liikesuunta ei ole niiden painopisteiden kautta kulkevan suoran suuntainen tai niiden kosketuspinta ei ole kohtisuorassa niiden liikkeeseen nähden, osa siitä energiasta, joka suorassa ja keskeisessä törmäyksessä palautuisi niiden etenemisliikkeen liike-energiaksi, kuluu kitkan vuoksi tai saa kappaleet pyörimään muuttuen niiden pyörimisliikkeen energiaksi. Sen sijaan värähdyksistä tai syntyvästä äänestä johtuvat energiahäviöt ovat yleensä merkityksettömän pieniä.

Eri materiaalien törmäykset ja käytännölliset mittaukset

Kun pehmeä kappale törmää kovempaan kappaleeseen, suurin osa niiden törmäystä edeltäneestä liike-energiasta varastoituu pehmeään kappaleeseen. Törmäyksen kimmoisuusaste riippuu siitä, missä määrin pehmeä kappale kykenee varastoimaan energiaa puristuessaan kokoon ilman, että se muuttuu lämmöksi tai kuluu palautumattomaan, plastiseen muodonmuutokseen. Niinpä kumipallo kimpoaa betonipinnalta voimakkaammin, suuremmalla kimmoisuusasteella kuin lasikuula, mutta vaakasuoralta lasipinnalta lasikuula kimpoaa paljon korkeammalle kuin kumipallo kumiselta vaakasuoralta pinnalta, koska jälkimmäisessä tapauksessa osa energiasta muuttuu lämmöksi kumin puristuessa kokoon. Jos kumipallo ja lasikuula törmäävät toisiinsa, kimmoisuusaste riippuu yksinomaan kumista. Tästä syystä kun jollekin materiaalille määritetään kimmoisuusaste eikä käytettävissä ole toista samasta aineesta tehtyä esinettä, se on törmäytettävä johonkin paljon kovempaan materiaaliin.

Koska mikään materiaali ei ole täysin jäykkää, kovilla materiaaleilla kuten metalleilla ja keraameilla on teoreettisesti määritetyt kimmoisuusasteet, jotka pätevät kahden samanlaisen kuulan törmäyksissä. KÄytännössä ne voidaan käyttää kahden pallon Newtonin kehdon avulla, mutta se on hidasta.

Leebin kovuuskoe on ainoa yleisesti käytetty koe materiaalien kimmoisuusasteen määrittämiseksi. Siinä volframikarbidista, joka on yksi kaikkein kovimmista saatavissa olevista aineista, valmistettu kuula pudotetaan testattavan materiaalin pintaan. Kokeen tuloksena ilmoitettu luku on yleensä tuhat kertaa kimmoisuusaste. Tulokseen kuitenkin vaikuttavat myös pudotettavan kappaleen muoto ja törmäysnopeus, minkä vuoksi sillä ei saada kokeesta riippumatonta objektiivista kimmoisuusastetta.

Kimmoisuusaste ja materiaalin ominaisuudet

Kimmoisuusaste ei ole materiaalin ominaisuus, koska se riippuu myös kappaleen muodosta ja törmäyksen laadusta, mutta se voidaan ennustaa materiaalin ominaisuuksien ja törmäysnopeuden perusteella, kun muut törmäykseen liittyvät tekijät tunnetaan. Pyörimisen ja kitkan aiheuttamat häviöt ovat monimutkaisia, mutta niiden vaikutus voidaan jättää huomioon ottamatta käsittelemällä idealisoitua tapausta, jossa kaksi yhtäläistä palloa törmää toisiinsa siten, että niiden massakeskipisteet ovat samalla niiden liikkeen suuntaisella suoralla.

Monien materiaalien kuten metallien ja keraamien (ei kuitenkaan kumien eikä muovien) otaksutaan olevan täysin kimmoisia, kun törmäyksen aiheuttama hetkellinen jännitys ei ole lähelläkään niiden myötörajaa. Siinä tapauksessa niiden törmäysenergia varastoituu vain kimmoiseen kokoonpuristumiseen, jolloin kimmoisuusasteeksi saadaan e = 1. Näin tapahtuu kuitenkin vain, kun nopeus on tiettyä rajaa pienempi, joka eri materiaaleilla vaihtelee 0,1 m/s:n ja 1 m/s:n välillä. Suuremmilla nopeuksilla törmäykset eivät ole täysin kimmoisia, koska kappaleet käyttäytyvät ikään kuin niiden liike-energia olisi kokonaisuudessaan keskittynyt törmäyspisteeseen. Erityisesti myötöraja ylittyy osassa kosketuspintaa, jolloin energiaa kuluu plastiseen muodonmuutokseen. Tällä perusteella saadaan seuraavat arviot eri materiaalien kimmoisuusasteille arvioimalla, kuinka suuri prosenttiosuus niiden alkuperäisestä törmäysenergiasta ei kulu plastisiin muodonmuutoksiin. Suurin piirtein nämä luvut saadaan jakamalla materiaalin kyky varastoida energiaa tilavuusyksikköä kohti sen puristuessa kokoon (($1/{\text{kimmomoduuli}}$) sen kyvyllä pysyä jännitys-venymäkäyrän kimmoisella alueella ($1/{\text{myötöraja}}$):

$\%{\text{kimpoamiseen käytettävissä oleva törmäysenergia}}\propto {\frac {\text{myötöraja}}{\text{kimmomoduuli}}}$

Kun materiaalin tiheys ja nopeus tunnetaan, tästä saadaan:

${\text{kimmoisuusaste}}\propto {\sqrt {\frac {\text{myötöraja}}{\text{kimmomoduuli}}}}$

Suuri myötöraja mahdollistaa sen, että suuri osa materiaalin "kosketustilavuudeta" pysyy kimmoisella alueella suurilla energioilla. Pieni kimmomoduuli mahdollistaa laajemman kosketuspinta-alan törmäyksen aikana, niin että energia jakautuu suurempaan tilavuuteen pinnan sisällä kosketuspisteessä. Tämä auttaa jännitystä pysymään myötörajan alapuolella.

Täsmällisempi teoreettinen tarkastelu osoittaa, että materiaalin tiheys ja nopeus ovat myös tärkeitä tekijöitä, jotka vaikuttavat kimmoisuusasteeseen, kun nopeus on sen verran suuri, ettei törmäys ole täysin kimmoinen (metalleilla suurempi kuin 0,1 m/s), mutta ei myöskään niin suuri, että tapahtuisi suuria pysyviä plastisia muodonmuutoksia (eli se ei ylitä arvoa 100 m/s). Pienillä nopeuksilla kimmoisuusaste on pienempi, koska vähemmän energiaa absorboituu. Tiheyttä käytetään massan sijasta, koska pallon tilavuuden vaikutuksen kumoaa kosketuskohdassa olevan vaikutusalueen tilavuuden kasvu samassa suhteessa. Täten pallon säde ei vaikuta kimmoisuusasteeseen. Kahden samasta materiaalista tehdyn mutta erikokoisen pallon törmäyksissä kimmoisuusasteet saadaan alla olevista kertomalla ne luvulla $\left({\frac {R_{1}}{R_{2}}}\right)^{\frac {3}{8}}$, missä R₁ ja R₂ ovat pallojen tilavuudet.

Näiden neljän muuttujan avulla voidaan laatia teoreettinen arvio kimmoisuusasteille pallon pudotessa samasta materiaalista valmistetulle pinnalle.

• e = kimmoisuusaste
• S_y = dynaaminen myötölujuus (dynaaminen "kimmoraja")
• E′ = efektiivinen kimmomoduuli
• ρ = tiheys
• v = nopeus törmäyksessä
• μ = Poissonin suhde

$e=3.1\left({\frac {S_{\text{y}}}{1}}\right)^{\frac {5}{8}}\left({\frac {1}{E'}}\right)^{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{v}}\right)^{\frac {1}{4}}\left({\frac {1}{\rho }}\right)^{\frac {1}{8}}$

$E'={\frac {E}{1-\mu ^{2}}}$

Metalleilla tästä lasketut kimmoisuusasteet pätevät, kun nopeus on suunnilleen arvojen 0,1 m/s ja 100 m/s välillä ja yleisesti, kun

$0.001<{\frac {\rho v^{2}}{S_{\text{y}}}}<0.1$

Eri materiaaleille saadaan tästä yhtälöstä seuraavat teoreettiset kimmoisuusasteet:

Metallit ja keraamit:	Ennusteen mukainen kimmoisuusaste e
pii	1,79
alumiinioksidi	0,45 ... 1.63
piinitridi	0,38 ... 1,63
piikarbidi	0,47 ... 1,31
amorfiset metallit enintään	1,27
volframikarbidi	0,73 ... 1,13
ruostumaton teräs	0,63 ... 0,93
magnesiumseokset	0,5 ... 0,89
luokan 5 titaaniseos	0,84
alumiiniseos 7075-T6	0,75
lasi (sooda-kalkki)	0,69
lasi (boorisilikaatti)	0,66
nikkeliseokset	0,15 ... 0,70
sinkkiseokset	0,21 ... 0,62
valurauta	0,3 ... 0,6
kupariseokset	0,15 ... 0,55
luokan 2 titaani	0,46
volframi	0,37
alumiiniseokset 3003 6061, 7075-0	0,35
sinkki	0,21
nikkeli	0,15
kupari	0,15
alumiini	0,1
lyijy	0,08

Pienillä nopeuksilla kimmoisuusaste on edellä olevista yhtälöistä saatua ennustetta suurempi ja lähestyy teoreettisesti arvoa e=1, kun edellä oleva murtoluku on pienempi kuin $10^{-6}$ m/s.

Muilla materiaaleilla tästä yhtälöstä lasketut kimmoisuusasteet sen sijaan ovat yleensä todellisia arvoja suurempia. Kuten taulukosta huomataan, monessa tapauksessa tästä yhtälöstä saatu kimmoisuusaste on jopa suurempi kuin 1, vaikka niin ei todellisuudessa voi olla. Parempien arvojen saamiseksi olisi myötörajan sijasta käytettävä dynaamista myötölujuutta.

Samalla tavalla laskemalla muoveille ja kumeille saadaan vielä korkeampia teoreettisia kimmoisuusasteita, koska nämä materiaalit lämpenevät puristuessaan kokoon eivätkä sen vuoksi käyttäydy yhtä ideaalisen kimmoisesti kuin metallit, lasit ja keraamit. Esimerkiksi polybutadieenille, jota käytetään golfpallojen pinnoitteena, saadaan kimmoisuusasteeksi peräti 11,6.

Lähteet

• Rod Cross: The bounce of a ball. Physics Department, University of Sydney, 1998. Teoksen verkkoversio.
• Physics, Part 3: Collision Response Chris Hecker. Viitattu 9.5.2020.
• Jearl Walker: Fundamentals fo Physics, 9th ed.. David Halliday, Rbert Resnick, Jearl Walker, 2011. ISBN 978-0-470-56473-8.