Kaprekarin luku

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Kaprekarin luku annetussa lukujärjestelmässä on positiivinen kokonaisluku, jonka neliö tuossa lukujärjestelmässä voidaan jakaa kahteen numero-osaan niin, että näiden osien summa on tuo alkuperäinen luku. Esimerkiksi 297 on Kaprekarin luku kymmenjärjestelmässä, koska 297² = 88209, joka voidaan jakaa 88:ksi ja 209:ksi, jolloin 88 + 209 = 297. Jälkimmäinen osa voi alkaa numerolla 0, mutta sen on oltava positiivinen. Esimerkiksi 999 on Kaprekarin luku kymmenjärjestelmässä, koska 999² = 998001, joka voidaan jakaa 998:ksi ja 001:ksi, jolloin 998 + 001 = 999. Sen sijaan 100 ei ole Kaprekarin luku: vaikka 100² = 10000 ja 100 + 00 = 100, jälkimmäinen osa ei ole positiivinen.

Matemaattisesti ilmaistuna: Olkoon X positiivinen kokonaisluku. X on Kaprekarin luku b-lukujärjestelmässä, jos on olemassa ei-negatiiviset kokonaisluvut n ja A sekä positiivinen kokonaisluku B niin, että seuraavat kolme ehtoa täyttyvät:

0 < B < bn
X² = Abn + B
X = A + B

Ensimmäiset Kaprekarin luvut kymmenjärjestelmässä ovat

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17 344, 22 222, 38 962, 77 778, 82 656, 95 121, 99 999, 142 857, 148 149, 181 819, 187 110, 208 495, 318 682, 329 967, 351 352, 356 643, 390 313, 461 539, 466 830, 499 500, 500 500 ja 533 170.

Binaarijärjestelmässä kaikki parilliset täydelliset luvut ovat Kaprekarin lukuja.

Jokaisesssa lukujärjestelmässä on äärettömän monta Kaprekarin lukua. Oikeastaan b-lukujärjestelmässä kaikki luvut muotoa bn − 1 ovat Kaprekarin lukuja.

Kaprekarin luvut on nimetty D. R. Kaprekarin mukaan. Niitä ei tule sekoittaa lukuun 6174, jota sanotaan Kaprekarin vakioksi.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Tämä matematiikkaan liittyvä artikkeli on tynkä. Voit auttaa Wikipediaa laajentamalla artikkelia.