Ero sivun ”Hermiittinen matriisi” versioiden välillä
[arvioimaton versio] | [arvioimaton versio] |
p Botti muokkasi: nl:Hermitische matrix |
p Botti muokkasi: zh:Hermite矩阵 |
||
Rivi 45: | Rivi 45: | ||
[[tr:Hermisyen matris]] |
[[tr:Hermisyen matris]] |
||
[[uk:Ермітова матриця]] |
[[uk:Ермітова матриця]] |
||
[[zh: |
[[zh:Hermite矩阵]] |
Versio 23. lokakuuta 2008 kello 19.26
Hermiittinen matriisi on neliömatriisi, jonka alkiot ovat kompleksilukuja ja joka on itsensä konjugaattinen transpoosi, eli alkio rivillä i ja sarakkeella j on alkion rivillä j ja sarakkeella i kompleksikonjugaatti:
Voidaan myös merkitä:
- .
Esimerkiksi
on hermiittinen matriisi.
Selvästi hermiittisen matriisin päädiagonaalin alkiot ovat aina reaalilukuja. Matriisi, jonka kaikki alkiot ovat reaalilukuja, on hermiittinen vain jos se on symmetrinen matriisi, eli se on symmetrinen päädiagonaalin suhteen. Reaalinen symmetrinen matriisi on täten erikoistapaus hermiittisestä matriisista.
Jokainen hermiittinen matriisi on normaali, kuten spektraalilauseesta nähdään. Sen mukaan jokainen hermiittinen matriisi voidaan diagonalisoida unitaariseksi matriisiksi ja syntyneen matriisin alkiot ovat reaalilukuja. Siten nähdään kaksi keskeistä tulosta:
- Hermiittisen matriisin ominaisarvot ovat reaalisia.
- Eri ominaisarvojen muodostamat ominaisvektorit ovat ortogonaalisia.
On siis mahdollistä löytää :n ortonormaali kanta, joka koostuu yksinomaan hermiittisen matriisin ominaisvektoreista.
Kahden hermiittisen matriisin summa on hermiittinen matriisi ja kääntyvän hermiittisen matriisin käänteismatriisi on hermiittinen. Hermiittisten matriisien A ja B tulo on hermiittinen vain jos matriisit kommutoivat, eli .
Hermiittiset n×n matriisit muodostavan reaalilukujen suhteen vektoriavaruuden, mutta ei kompleksilukujen suhteen. Tämän vektoriavaruuden dimensio on n2. (Yksi vapausaste päälävistäjän alkiota kohti ja kaksi vapausastetta lävistäjän yläpuolella olevaa alkiota kohti.) Jos hermiittisen matriisin kaikki ominaisarvot ovat positiivisia, matriisia kutsutaan positiivisesti definiitiksi. Jos taas kaikki ovat epänegatiivisia, on matriisi positiivisesti semidefiniitti.