Ortogonaalinen matriisi

Ortogonaalinen matriisi on reaalikertoiminen matriisi jonka transpoosi on sen käänteismatriisi eli

$Q^{T}Q=QQ^{T}=I\,$.

Tässä esiintyvä I on yksikkömatriisi. Erityisen kiinnostavia ovat erikoiset ortogonaalimatriisit (engl. special orthogonal matrices), joiden determinantille on lisäksi voimassa

$\det(Q)=+1\,$.

Ortogonaalimatriiseja esiintyy monissa sovelluksissa. Esimerkiksi kierrot ja peilaukset ovat ortogonaalimatriisien kuvaamia. Ortogonaalisia matriiseja käytetään myös esimerkiksi muiden matriisien esittämisessä QR-hajotelman avulla.

Ortogonaalisten matriisien keskeisiin ominaisuuksiin kuuluu, että ortogonaaliset (3×3-)matriisit muodostavat ryhmän, josta käytetään merkintää O(3) ja vastaavat erikoiset ortogonaalimatriisit ryhmän SO(3). Näillä ryhmillä ja niiden ominaisuuksilla on merkitystä mm. fysiikassa.

Reaalikertoiminen neliömatriisi on ortogonaalinen jos ja vain jos sen sarakkeet muodostavat ortonormaalin jonon tavallisen pistetulon suhteen. Sama pätee riveihin.

Esimerkkejä

Esimerkkejä ortogonaalisista matriiseista:

• Yksikkömatriisi:

${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\\end{bmatrix}}$

• Peilaus xy-tason suhteen:

${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\\\end{bmatrix}}$

• Eräs rotaation ja peilauksen yhdistelmä:

${\begin{bmatrix}0&-0.80&-0.60\\0.80&-0.36&\;\;\,0.48\\0.60&\;\;\,0.48&-0.64\end{bmatrix}}$

Kirjallisuutta

• Kivelä, Simo K.: Matriisilasku ja lineaarialgebra. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
• Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus. Helsinki: Avoimet oppimateriaalit ry, 2015. ISBN 978-952-7010-12-9, ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).