Srinivasa Ramanujan

Kohteesta Wikipedia
(Ohjattu sivulta Ramanujan)
Loikkaa: valikkoon, hakuun
Srinivasa Ramanujan

Srinivasa Aaiyangar Ramanujan (tamiliksi ஸ்ரீநிவாச ராமானுஜன்) (22. joulukuuta 1887 Erode26. huhtikuuta 1920 Madras [nyk. Chennai]) oli intialainen matemaatikko.[1]

Ramanujan julkaisi lukuisia kirjoituksia intialaisissa matemaattisissa julkaisuissa ja yritti sitten saada eurooppalaiset matemaatikot kiinnostumaan työstään. G. H. Hardylle vuonna 1913 lähetetty kirje sisälsi lukuisia lauseita ilman todistusta. Hardy oli ensin epäilevällä kannalla mutta kutsui sitten Ramanujanin Englantiin. Hardy huomasikin nopeasti Ramanujanin kyvyt. Lukua 1729 kutsutaan heidän mukaansa Hardyn–Ramanujanin luvuksi. Luku on tunnettu kaskusta, jonka mukaan Hardy tuli tapaamaan Ramanujania sairaalaan. Hardy kertoi tulleensa taksilla numero 1729. Hardy sanoi sen olevan varsin tylsä luku, mutta Ramanujan osasi heti kertoa, että luku on pienin kokonaisluku, joka on esitettävissä kahden positiivisen kuution summana kahdella eri tavalla. Hardy kertoo tästä esseessään Matemaatikon apologia (1940).[2]

Ramanujan työskenteli lähinnä analyyttisen lukuteorian ja analyysin parissa, ja hänet tunnetaan lukuisista vakioita ja alkulukuja koskevista kaavoistaan. Hän esitti monia kaavoja ilman muodollista todistusta, ja todistukset löydettiin vasta myöhemmin.

Matemaattiset tulokset[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Alkeismatematiikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan todisti monia alkeellisia mutta kiehtovia tuloksia:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle (3x^2+5xy-5y^2)^3 + (4x^2-4xy+6y^2)^3 + (5x^2-5xy-3y^2)^3 = (6x^2-4xy+4y^2)^3 }



Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle = x\,+\,n\,+\,a.}

Hän kehitti monia approksimaatioita piille:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \frac{9}{5}+\sqrt{\frac{9}{5}} = 3.1416^+

Identiteettejä juurille:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \sqrt{ \sqrt[3]{28} - \sqrt[3]{27}} = \tfrac13\left(\sqrt[3]{98} - \sqrt[3]{28} -1\right), }
Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle {\sqrt[{3}]{{\sqrt[{5}]{\frac {32}{5}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {27}{5}}}}}={\sqrt[{5}]{\frac {1}{25}}}+{\sqrt[{5}]{\frac {3}{25}}}-{\sqrt[{5}]{\frac {9}{25}}},}
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \sqrt[3]{\ \sqrt[3]{2}\ - 1}= \sqrt[3]{\frac{1}{9}} - \sqrt[3]{\frac{2}{9}} + \sqrt[3]{\frac{4}{9}}. }

Kombinatoriikka[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan tutki Bernoullin lukuja ja löysi monia kiehtovia ominaisuuksia:

Äärettömät sarjat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan löysi monia äärettömiä sarjoja piille:

Toinen hänen tuloksistaan äärettömille sarjoille on

Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cos(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}+\left[1+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\cosh(n\theta )}{\cosh(n\pi )}}\right]^{-2}={\frac {2\Gamma ^{4}\left({\frac {3}{4}}\right)}{\pi }}}

kaikille Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): \theta , missä Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \Gamma (z)} on gammafunktio. Hän todisti myös monia tuloksia hypergeometrisille sarjoille, kuten:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle 1 + 9\left(\frac{1}{4}\right)^4 + 17\left(\frac{1\times5}{4\times8}\right)^4 + 25\left(\frac{1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4 + \cdots = \frac{2^\frac{3}{2}}{\pi^\frac{1}{2}\Gamma^2\left(\frac{3}{4}\right)}.}

Ensimmäinen tulos oli jo tunnettu, mutta toinen oli todennäköisesti uusi.

Integraalit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan laski monia mielenkiintoisia integraaleja, kuten

Ketjumurtoluvut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Ramanujan löysi suuren määrän kaavoja ketjumurtoluvuille:

Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 1+{\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+{\frac {1}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9}}+\cdots +{1 \over 1+{1 \over 1+{2 \over 1+{3 \over 1+{4 \over 1+{5 \over 1+\cdots }}}}}}={\sqrt {\frac {e\cdot \pi }{2}}}}
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \sqrt{\varphi+2}- \varphi = \cfrac{e^{-2 \pi/5}}{1 + \cfrac{e^{-2 \pi}}{1 + \cfrac{e^{-4 \pi}}{1+ \cfrac{e^{-6 \pi}}{1+\,\cdots}}}} }

missä Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} on kultainen leikkaus;

Q-sarjat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \;_1\psi_1 \left[\begin{matrix} a \\ b \end{matrix} ; q,z \right] = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac {(a;q)_n} {(b;q)_n} z^n = \frac {(b/a,q,q/az,az;q)_\infty } {(b,b/az,q/a,z;q)_\infty} }

jos |q| < 1 ja |b/a| < |z| < 1.

Rogersin–Ramanujanin identiteetit:

Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle G(q)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {q^{n^{2}}}{(q;q)_{n}}}={\frac {1}{(q;q^{5})_{\infty }(q^{4};q^{5})_{\infty }}}=1+q+q^{2}+q^{3}+2q^{4}+2q^{5}+3q^{6}+\cdots \,}

ja

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle H(q) =\sum_{n=0}^\infty \frac {q^{n^2+n}} {(q;q)_n} = \frac {1}{(q^2;q^5)_\infty (q^3; q^5)_\infty} =1+q^2 +q^3 +q^4+q^5 +2q^6+\cdots \, } .

Muita q-sarjoja:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle \sum_{k=0}^\infty p(5k+4)q^k=5\frac{(q^5)_\infty^5}{(q)_\infty^6}}
Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }p(7k+5)q^{k}=7{\frac {(q^{7})_{\infty }^{3}}{(q)_{\infty }^{4}}}+49q{\frac {(q^{7})_{\infty }^{7}}{(q)_{\infty }^{8}}}}

missä p(n) on partitiofunktio. Tästä saadaan korollaareina kongruenssit

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle p(5k+4)\equiv 0 \pmod 5}
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle p(7k+5)\equiv 0 \pmod 7.}

Ramanujan löysi myös kolmannen kongruenssin:

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle p(11k+6)\equiv 0 \pmod {11}.}

Eisenstein-sarjat[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Määritellään

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle L(q)=1-24\sum_{n=1}^\infty \frac {nq^n}{1-q^n}=E_2(\tau)}
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle M(q)=1+240\sum_{n=1}^\infty \frac {n^3q^n}{1-q^n}=E_4(\tau)}

silloin on

Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle q\frac{dL}{dq} = \frac {L^2-M}{12}}
Jäsentäminen epäonnistui (Näytä MathML:nä, jos mahdollista (kokeellinen): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "/mathoid/local/v1/":): {\displaystyle q\frac{dM}{dq} = \frac {LM-N}{3}}
Jäsentäminen epäonnistui (Conversion error. Server ("https://fi.wikipedia.org/api/rest_") reported: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle q{\frac {dN}{dq}}={\frac {LN-M^{2}}{2}}.}

Nämä kaavat johtavat korollaareihin aritmeettisille funktioille. Määritelläänselvennä

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Hardy, G. H.: Ramanujan: Twelve Lectures on Subjects Suggested by His Life and Work. New York: Chelsea, 1999.

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. Srinivasa Ramanujan (Dec. 22, 1887 – April 26, 1920). The Institute of Mathematical Sciences, Madras-600 113.
  2. Hardy 1999: 13, 68.

Kirjallisuutta[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • Hakala, Juha T.: Luova prosessi tieteessä. Helsinki: Gaudeamus, 2002. ISBN 951-662-862-1.

Aiheesta muualla[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]