Aritmeettinen funktio

Wikipedia
Loikkaa: valikkoon, hakuun

Aritmeettinen funktio eli lukuteoreettinen funktio on kuvaus, joka on määritelty luonnollisille luvuille ja joka saa arvoksi kompleksilukuja. Aritmeettiset funktiot liittyvät lähinnä lukuteoriaan ja laskettavuuden teoriaan.

Aritmeettisia funktioita tutkitaan paljon Bellin sarjojen avulla. Funktiojoukkoa voidaan käsitellä myös kommutatiivisena renkaana kahteen joukossa määriteltyyn operaatioon nähden. Funktiojoukon tärkeimmät osajoukot ovat additiiviset ja multiplikatiiviset funktiot.

Matemaattisia määritelmiä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Formaalisti aritmeettiset funktiot määritellään seuraavasti:

f: \mathbb{N} \to \mathbb{C},

missä \mathbb{N} tarkoittaa luonnollisten lukujen joukkoa \left\{ 1,2,3,...\right\} ja \mathbb{C} kompleksilukujen joukkoa.

Aritmeettiset funktiot muodostavat joukon, jonka keskuudessa voidaan määritellä erilaisia binäärioperaatioita. Nämä operaatiot siis muodostavat kahdesta joukon funktiosta uuden funktion. Keskeisiä operaatioita ovat seuraavat:

  • summa f + g, jota tarvitaan additiivisten funktioiden määrittelyssä sekä renkaan muodostamisessa:
(f+g)(n) = f(n)+g(n)\,\!
  • tulo fg, jota tarvitaan multiplikatiivisten funktioiden määrittelyssä:
(fg)(n) = f(n)g(n)\,\!
  • Dirichlet'n tulo eli Dirichlet'n konvoluutio f*g, jota tarvitaan renkaan muodostamisessa:
(f*g)(n) = \sum_{d|n, d>0} {f(d) g(n/d)}\,.

Näissä f ja g ovat aritmeettisia funktioita ja n on positiivinen kokonaisluku. Merkintä d|n tarkoittaa, että n on jaollinen d:llä.

Funktiojoukon algebrallinen rakenne[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmeettisten funktioiden joukko \mathcal{A} muodostaa yllä määriteltyjen summan ja Dirichlet'n tulon kanssa kommutatiivisen renkaan (\mathcal{A},+,*). Tämän renkaan nolla- ja ykkösalkiot ovat aritmeettiset funktiot f_0 ja E_0, jotka määritellään seuraavasti:

 f_0(n) = 0,\,\!
 E_0(n) = \left\{ \begin{matrix} 
1, & kun & n = 1, \\
0, & kun & n > 1. \end{matrix} \right.

(\mathcal{A},+,*) ei ole kunta, sillä kaikille funktiojoukon funktioille ei löydy käänteisalkioita Dirichlet'n tulon suhteen. Käänteisalkio on vain sellaisilla aritmeettisilla funktioilla, joilla f(1) \ne 0.

Esimerkkejä[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Aritmeettisia funktioita ovat esimerkiksi seuraavat:

Aritmeettisten funktioiden generoivia funktioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

\sum_{n\ge 1} \frac{\mu(n)}{n^s} = \frac{1}{\zeta(s)}
\sum_{n\ge 1} \frac{\varphi(n)}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}
\sum_{n\ge 1} \frac{d(n)^2}{n^s} = \frac{\zeta(s)^4}{\zeta(2s)}
\sum_{n\ge 1} \frac{2^{\omega(n)}}{n^s} = \frac{\zeta(s)^2}{\zeta(2s)}

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  • William J. LeVeque, Fundamentals of Number Theory, 1996, Courier Dover Publications
  • Elliott Mendelson, Introduction to Mathematical Logic, 1987, CRC Press
  • Pentti Haukkanen: Lukuteoriaa Tampereen yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007.
  • Matti Jutila & Iiro Honkala: Lukuteoria Syksy 2007. Turun yliopisto. Viitattu 18. syyskuuta 2007.