Perusjoukko (todennäköisyys)

Perusjoukko eli otosavaruus eli näyteavaruus eli tapahtuma-avaruus on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, joka tarkoittaa satunnaisilmiön kaikkien erilaisten alkeistapauksien joukkoa. Kun alkeistapausten sijaan käytetään satunnaismuuttujan arvoja, muodostuu perusjoukko satunnaismuuttujan arvojoukosta. Käsitteen yhteydessä käytetään joukko-opin merkintöjä ja ajattelua. Perusjoukkoa merkitään yleensä $\Omega$ (lue "oomega") tai $S.$

Tapahtuman yleisyyttä arvioitaessa tulee ensin selvittää, mitkä satunnaisilmiön alkeistapaukset toteuttavat tarkasteltavan tapahtuman. Sitten selvitetään, mitkä ovat yleensä mahdolliset alkeistapaukset ja niistä muodostetaan perusjoukko. Klassisen todennäköisyysajattelun mukaan tapahtuman joukon koko verrattuna perusjoukon kokoon, määrittää tapahtuman yleisyyden eli todennäköisyyden. Muissakin todennäköisyyden määritelmissä pyritään samantapaiseen ajatteluun.

Perusjoukko voi olla diskreettinen tai jatkuva. Diskreettisessä perusjoukossa arvoja on äärellinen määrä tai korkeintaan numeroituvasti ääretön määrä. Diskreettinen perusjoukko on yksinkertainen, jos sillä on vain äärellinen määrä alkioita. Jatkuvat perusjoukot ovat ylinumeroituvasti äärettömän kokoisia.

Esimerkkejä perusjoukoista

Diskreettejä tapauksia

Diskreettisissä satunnaisilmiöissä on mahdollista luetella kaikki alkeistapaukset, jos niiden lukumäärä on äärellinen. Jos lähtökohtana on arpomisvälineen tulokset, jotka toimittavat satunnaisilmön tehtävää, saadaan seuraavia perusjoukkoja (numeroinnilla # viitataan kohtaan myöhemmin):

• Kolikonheitto (#1): $\Omega =\{kruuna,klaava\}=\{kr,kl\}$
• Nopanheitto (#2): $\Omega =\{1,2,3,4,5,6\}$
• Kortinnosto (#3): $\Omega =\{\diamondsuit 1,\diamondsuit 2,...,\diamondsuit 13,\heartsuit 1,\heartsuit 2,...,\heartsuit 13,\clubsuit 1,\clubsuit 2\,...,\clubsuit 13,\spadesuit 1,\spadesuit 2,...,\spadesuit 12,\spadesuit 13\}$

Perusjoukon koko on näissä tapauksissa äärellinen. Arpomisvälineitä saattaa olla useita, jolloin alkeistapaukset saadaan kertomalla arpomisvälineen perusjoukot keskenään karteesina tulona. Tällöin alkeistapaus on kummankin arpomisvälineen tulosten :

• Kolme kolikkoa (lyhenteet): $\Omega =\{(kr,kr,kr),(kr,kr,kl),(kr,kl,kr),(kr,kl,kl),(kl,kr,kr),(kl,kr,kl),(kl,kl,kr),(kl,kl,kl)\},$ joista muodostuu $2^{3}=8$ alkeistapausta.
• Kaksi noppaa: $\Omega =\{(1,1),(1,2),(1,3),...,(1,6),(2,1),(2,2),...,(2,6),(3,1),...,(6,5),(6,6)\},$ joista muodostuu $6^{2}=36$ alkeistapausta.

Perusjoukon koko poikkeaa arpomisvälineen tuottamasta tuloksesta, mutta silti perusjoukon koko on äärellinen.

Joskus perusjoukko on diskreettinen, mutta sen koko on kuitenkin ääretön. Esimerkiksi pelissä, jossa heitetään kolikkoa kunnes saadaan kruuna, voi heittokertojen lukumäärä kohota suureksikin. Kruuna voi tulla heti, jolloin klaavoja ei ole ehtinyt tulla eli niiden lukumäärä on nolla. Toisinaan voi heti klaavan jälkeen tulee kruuna, jolloin klaavojen lukumäärä on yksi. Mikään ei estä klaavoja tulemasta kaksi, kolme, neljä ja niin edelleen kertaa, ennen kuin saadaan ensimmäinen kruuna. Satunnaisilmiön luonne onkin sellainen, että klaavoja voi periaatteessa tulla kuinka monta vain. Siksi klaavojen mahdollisia lukumääriä esittävä perusjoukko on (#4) $\Omega =\{0,1,2,3,4,5,...\}.$ Perusjoukon koko on silloin numeroituvasti ääretön.

Jatkuvia tapaukset

Jatkuvissa satunnaisilmiöissä alkeistapaukset ovat reaalilukuja. Näiden luetteleminen on mahdotonta, joten niiden ilmoittamisessa tulee käyttää erilaisia ymmärrettäviä tapoja. Yleensä käytetään sanallisia ilmaisutapoja tai esimerkiksi lukuvälejä.

• Tuotteen alkoholipitoisuus (100% = 1): $\Omega =\{x\mid 0\leq x\leq 1\}$ tai yleisemmin vain $[0,1]$
• Ihmisen pituus: $\Omega =\{x\mid 0\leq x<\infty \}$
• Tikan osumakohdat tikkatauluun $\Omega =\mathbb {R} ^{2},$ kun origo on napakympissä (#5).

Satunnaismuuttujan perusjoukko

Pääartikkeli: Satunnaismuuttuja

Satunnaismuuttujaksi kutsutaan sellaisia satunnais-ilmiöiden tuottamia arvoja, jotka ovat suoraan numeerisia. Alkeistapaukset voivat olla fyysisten arpomisvälineiden asentoja (kolikko, noppa), mutta niille voidaan "antaa" myös numeeriset arvot (nopan silmien luvut). Satunnaismuuttujan perusjoukko on kaikki sen saamat erilaisiet numeeriset arvot.

Perusjoukot ja todennäköisyydet

Perusjoukon koko

Kun perusjoukko on yksinkertainen, jos se on muodostunut diskreettisistä ja äärellisistä alkeistapauksista tai satunnaismuuttujan arvoista. Tällöin voidaan perusjoukon alkioiden lukumäärä laskea. Esimerkiksi perusjoukossa #1 se on kaksi, perusjoukossa #2 se on kuusi ja #3 se on 52. Äärettömän mutta numeroituvan perusjoukon koko on ääretön.

Jatkuvat perusjoukot sisältävät ylinumeroituvan määrän alkeistapauksia tai arvoja. Perusjoukon koko olisi myös ääretön, etllei käytettäisi mittana muita tapoja. Lukuvälin $[a,b]$ pituus $d=|b-a|$ kelpaa koon suuruuden arvioksi. Samalla tavalla tikkataulun pinta-ala (#5) kelpaa todennäköisyyden määrityksen pohjaksi. Tapaa kutsutaan geometriseksi todennäköisyydeksi.

Todennäköisyys

Jos diskreettiset alkeistapaukset ovat symmetrisiä, ovat niiden todennäköisyydet yhtä suuret ja siten ykkösen murto-osia. Yleistäen alkeistapauksilla voi olla eri esiintymistodennäköisyydet johtuen esimerkiksi arpomisvälineen epäsymmetriasta tai satunnaisilmiön erityisestä luonteesta. Samaa ajattelua voidaan soveltaa satunnaismuuttujien kohdalla. Vaikka arpomisväline olisikin symmetrinen, voi siitä johdettu satunnaismuuttuja olla epäsymmetrinen. Näin käy, kun satunnaismuuttujaksi valitaan kahden heiton summat.

Jatkuvan perusjoukon osajoukkojen eli tapahtumien todennäköisyydet tulee määrittää todennäköisyysfunktion avulla. Diskreettisten tapahtumien eli perusjoukon minkä tahansa osajoukon todennäköisyys voidaan aina määrittää. On kuitenkin osoittautunut, että jatkuvien perusjoukon osajoukoille määritelmä on liian väljä. On nimittäin olemassa tapahtumajoukkoja, joille esimerkiksi additiivisuuden todennäköisyysaksiooma ei ole voimassa. Siksi tulee rajoittaa niiden tapahtumien lukumäärää, joille todennäköisyys määritetään. Parhaaksi menettelyksi on osoittautunut se, että otetaan käyttöön sigma-algebra, jolle todennäköisyydet määritetään.

Katso myös

• Todennäköisyysfunktio
• Todennäköisyysjakauma