Pedaalinen kolmio

Kohteesta Wikipedia
(Ohjattu sivulta Pedaalinen piste)
Siirry navigaatioon Siirry hakuun
Pedaalinen piste (sininen) toimii normaalien (pisteviivat) leikkauspisteenä, ja normaalien kantapisteet (harmaat) ovat pedaalisen kolmion (punainen) kärkinä.

Pedaalinen kolmio (engl. pedal triangel [1]) on geometriassa kolmioon, annetun pisteen P avulla, muodostettu uusi kolmio. Pistettä P voidaan kutsua pedaaliseksi pisteeksi (engl. pedal triangel [2]) ja siinä leikkaavat kolme eri kolmion sivuja leikkaavaa normaalia. Pedaalinen kolmio syntyy, kun normaalien kantapisteet yhdistetään janoilla kolmioksi.[3]

Kolmion ominaisuuksia[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Mikäli pedaalinen piste sijaitsee kolmion ulkopuolella, osuvat normaalit (katkoviivat) joskus sivujen jatkeille.

Pedaalinen kolmio on kolmion sisäkolmio, kun kantapisteet sattuvat kaikki kolmion sivuille. Mikäli pedaalinen piste sijaitsee tarpeeksi kaukana kolmion ulkopuolella, osuvat normaalit (katkoviivat) sivujen jatkeille.

Seuraavissa kaavoissa pätevät seuraavat merkinnät. Alkuperäisen kolmion sivut ovat a = BC, b = AC ja c = AB sekä pinta-ala . Kärkien A, B ja C kulmia ovat ja . Pedaalisen kolmion sivut ovat a' = B'C', b' = A'C' ja c' = A'B'. Kolmion ympäröivän ympyrän säde on R ja sen pedaalisen pisteen trilineaariset koordinaatit ovat P = x : y : z.

Trilineaariset koordinaatit[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Kolmion pedaalisen kolmion trilineaariset koordinaatit ovat

ja
[3]

Pedaalikolmion sivut[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pedaalikolmion sivun pituus

.

ja

.

[1]

Pedaalikolmion ala[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pedaalikolmion pinta-ala on

[1]

Pedaalisia kolmioita[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Pedaalisten kolmioiden muoto riippuu sekä isäntäkolmion muodosta että normaalien leikkauspisteen P paikasta. Kolmiot voidaan kuitenkin luetteloida käyttäen leikkauspistettä indeksinä.

Pedaalikolmion rajatapaus lienee Simsonin jana, joka syntyy, kun pedaalipiste viedään kolmion ulkopuolelle. Ulkopuolinen pedaalipiste tekee pedaalikolmiosta tylppäkulmaisen ja lopulta, kun pedaalipiste osuu kolmion ympäröivälle ympyrälle, kapenee janaksi.

Katso myös[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Lähteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

Viitteet[muokkaa | muokkaa wikitekstiä]

  1. a b c d Weisstein, Eric W.: Pedal Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  2. Weisstein, Eric W.: Pedal Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  3. a b Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma) 2012. Jyväskylä: Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
  4. a b c d e f g Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) Tekijän kotisivut. 2013. Evansville: Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
  5. Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  6. Weisstein, Eric W.: Orthic Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)
  7. Weisstein, Eric W.: Extouch Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)